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用G=(V(G)，E(G))表示顶点集是V(G)，边集是E(G)的图，图G的两个点称为独立的，若它们不相邻，V(G)的没有任何两个点相邻的子集称为独立集.图G的所有独立集的总数目称为Merrifield-Simmons指标.图G的两条边称为独立的，若它们没有公共顶点.E(G)的没有任何两条边相邻的子集称为独立边集(匹配)。Hosoya指标是独立边集的总数目.文献[X.Z.Lv，Y.Y，A.M.Yu，J，J.Zhang，Orderingtrees with given pendent vertices with respect to Merrifield-Simmons indices andHosoya indices，J.Math.Chem.，2009]中X.Z.Lv，Y.Y，A.M.Yu，J.J.Zhang对具有n个顶点和k个悬挂点的树集Tn，k中部分树用Merriffield-Simmons指标和Hosoya指标进行了排序，本文在此基础上在树集Tn，k中刻画了Merriffield-Simmons指标从最大到第[n-k+1/2]大的树和Hosoya指标最小到第[n-k+1/2]小的树。
对单圈图的化学拓扑指标进行研究是数学化学一个重要内容，也推出了许多新的研究成果.在[A.M.Yu，F.Tian，A kind of graphs with Minimal Hosoya in-dices and maximal merrifeld-Simmons indices.MATCH Commun.Math.Comput。Chem.55(2006)，103-118]Yu和Tian刻画了m-匹配单圈图u(n，m)中具有最小和次小Hosoya指标的极值图.在本文，刻画了m-匹配单圈图中取到第三小，第四小，第五小，第六小Hosoya指标的图。
对给定简单图G，用A(G)表示它的邻接矩阵.图G的能量定义为它的邻接阵A(G)的所有特征值的绝对值之和.这一定义的重要化学背景是图的特征值共轭碳氢化合物中π-电子的分子轨道能量级有着紧密的对应.1977年，Gutman首先定义了二部图的拟序关系”()”，利用图的拟序关系有效地解决关于图极值能量的很多问题，但也有许多拟序不可比问题.最近，Huo等运用分析、代数和组合方法，同时依据能量的Coulson积分公式解决了一些困难问题，文献[A.M.Yu，X.Z.Lv，Minimumenergy ont rees with k pendent vertices，Linear Algebra and its Applications.，418(2006)，625-633]刻画了在n个顶点和k个悬挂点树集Tn，k中取最小能量的图.在本文，将这些方法组合应用，刻画了在n个顶点和k个悬挂点树集Tn，k中取到第二小能量的图.文献[F.Li，B.Zhou，Minimal energy of unicycic graphs of a givendiameter，J.Math.Chem.，43(2008)，476-484]刻画了具有固定直径的单圈图集中取到最小能量的图，本文刻画了具有固定直径的单圈图集中取到第二小能量的图的范围。
矩阵L(G)=D(G)-A(G)是G的Laplacian矩阵，其中D(G)=diag(d1，d2，…，dn)是度矩阵(di=deg(ui)).图的Laplacian谱是由Laplacian矩阵的特征值(及其重数)组成，这篇文章研究了Lapladan谱半径至多为4的图.在这些图中，那些不是由他们的Laplacian谱所确定的图给出对应的同谱非同构图。