二阶非周期哈密顿系统同宿轨道研究哈密顿系统理论是既经典又现代的研究领域，可以从不同的角度进行研究，变分方法便是其中之一。哈密顿系统是具有变分结构的系统，求哈密顿系统的解可转化为寻找其对应泛函的临界点。正因于此，哈密顿系统研究与最近20多年来飞速发展的大范围变分理论即临界点理论相结合，取得了巨大的进展.特别是在应用变分方法寻找哈密顿系统的周期解、同宿轨道解、异宿轨道解和其它形式的轨道解方面，取得了许多非常深刻的结果。 本论文主要研究非周期的位势可变号的二阶哈密顿系统ü(t)-L(t)u(t)+Vu(t，u)=0,-∞＜t＜+∞(HS2)的同宿轨道.这里u=(u1，u2，…un)，V(t，u)：R×Rm→R是一个符号可变的位势函数.假设L(t)和V(t，u)满足(L1)L(t)∈C(R，Rm2)是一个m×m阶对称正定矩阵，存在函数a(t)∈C(R，R)使得a(t)≥a0＞0，(L(t)u，u)≥a(t)|u|2，t∈R，u∈Rm.(L2)a(t)→+∞，|t|→+∞.(V1)V∈C1(R×Rm，R),V(t，0)=0,Vu(t，u)=o(|u|)(|u|→0)，关于t∈R一致成立.(V2)存在常数μ＞2，1≤β＜2，r＞O,d1≥0使得|u·Vu(t，u)-μV(t,u)|≤d1|u|β，当|x|≥r.(V3)存在函数V1(u)∈C(Rm，R)，使得|V(t，u)|+|Vu(t，u)|≤|V1(u)|，t∈R，u∈Rm.在假设(V1)-(V3)下，易知存在d2≥0使得|u·Vu(t，u)-μV(t，u)|≤d2|u|β，()t∈R，()u∈Rm.若V(t，u)还满足(V4)存在(t0，u0)满足|u0|=1且V(t0,u0)＞d2/μ-β.那么(HS2)至少存在一条非平凡的同宿轨道。 再进一步假设V(t，u)还满足(V5)存在函数b(t)∈C(R,R)满足b(t)＞0，且inft∈R,|u|=1V(t，u)≥b(t)+d2/μ-β。(V6)V(t，u)=V(t，-u)，t∈R，u∈Rm.那么(HS2)拥有无穷多条不同的同宿轨道.另外，如果V(t，u)除满足(V1)-(V4)外，还满足(V7)V(t，u)=V(-t，u)，t∈R，u∈Rm.而L(t)满足(L3)L(t)=L(-t)，1/2(L(t)u，u)≥Vt(t，u)，t∈R，u∈Rm.那么(HS2)至少存在一条非平凡的偶同宿轨道。 我们主要应用变分方法证明上述结果。