随机微分方程已广泛应用于物理、工程、生物、医学及经济等众多领域中,但绝大部分随机微分方程的解析解难以获得,故探索高效且稳定的数值算法具有重要的理论和实际意义.本文主要提出了变步长随机Runge-Kutta算法,定步长和变步长的预估-校正算法以及变步长平衡方法,研究了这些方法在求解随机微分方程中的应用,着重探索了刚性随机微分方程的数值解法.全文由如下六部分组成：第一章叙述了随机微分方程的应用背景,回顾了多年来随机微分方程数值解法的研究和发展状况,并介绍了一些常见的刚性随机微分方程数值解法.第二章介绍了本文需要用到的基础知识,主要涉及概率论、随机过程、随机微分方程及其数值方法的理论背景.第三章设计了一种变步长显式随机Rungc-Kutta方法,给出了其均方稳定的条件.数值试验表明这种算法在求解非刚性随机微分方程时,具有较高的效率和精度.将这类方法应用到刚性随机微分方程数值解时,数值试验表明此方法还有待改进.第四章基于预估-校正型Runge-Kutta方法的阶条件,推导了一例预估-校正算法,与Burrage和Tian提出的预估-校正算法相比较,本章的方法有更小的局部截断误差主项系数,是下一章一类变步长方法的基础算法.第五章运用第三章中算法设计的主要思想,设计了两套变步长的预估-校正算法,首先是以第四章的算法为基础算法设计的1.0阶预估-校正Runge-Kutta算法,然后以第三章的变步长算法为预估算子,以1.5阶隐式Runge-Kutta算法为校正算子,设计出1.5阶变步长预估-校正Runge-Kutta算法.在求解刚性随机微分方程时,这两套算法较第三章的显式变步长随机Runge-Kutta算法在精度和效率上都有明显的优势.第六章基于两类平衡方法,同样借用第三章的思想,设计了两类变步长的平衡方法.在求解刚性随机微分方程时,与前几章设计的算法相比,他们在精度和效率上都显示出较大的优势.自适应算法是高效数值求解随机微分方程的策略,变步长是设计自适应算法的常用技巧.本文所作的一系列的探索将对以后随机微分方程数值解法的研究起到一定的借鉴作用.