【摘 要】
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图论作为现代数学的一个重要分支，在电气网络，信息传输，城市规划等方面的应用越来越广泛，因为自然界和人类社会中有大量事物以及事物之间的关系，可以用图来描述．而路和圈作为图的两种基本结构，是分析和刻画图的有力工具，有许多的实际问题可以归结为图的路和圈问题，所以这方面一直是图论中的热点研究领域，其研究成果和进展可参见文献[1]4l事实上，图论中三大著名难题之一的Harnilton问题本质上也是图的路和圈
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图论作为现代数学的一个重要分支，在电气网络，信息传输，城市规划等方面的应用越来越广泛，因为自然界和人类社会中有大量事物以及事物之间的关系，可以用图来描述．而路和圈作为图的两种基本结构，是分析和刻画图的有力工具，有许多的实际问题可以归结为图的路和圈问题，所以这方面一直是图论中的热点研究领域，其研究成果和进展可参见文献[1]4l事实上，图论中三大著名难题之一的Harnilton问题本质上也是图的路和圈问题．经过几十年的发展，图的路圈性质所涉及的内容日益丰富和具体．路的方面包括图的hamilton一路（可迹性），最长路，Hamilton连通，泛连通，路可扩等等；圈的方面包括图的hamiltin圈，最长圈，（点）泛圈，完全圈可扩，点不交的圈，圈覆盖等等． 由于Hamiltom问题是一个NPc问题，直接研究往往比较困难，于是人们转而研究不含有某些禁用子图的图类．继Beinekel968，1970年发表的关于线图性质的两篇文章[5]-『6]之后，人们开始关注包含着线图的无爪图．70年代末80年代初，是研究无爪图的一个非常活跃的时期．关于无爪图方面的部分优秀成果可参考[7]一[32]另外，无爪图的概念也被从不同角度推广到了更大的图类，如半无爪图，几乎无爪图，（k1.42）一图，DcT图等．这方面的研究成果可参考[33]-[46].2005年，刘春房在[47]中定义了一种新的图类- [s，t一图，即任意s个点之间至少含有t条边，这类图的特点是其边的分布比较均匀，因而在交通网络，通信系统，计算机的网络配置等方面有着典型应用．目前，关于[s，tl图路圈性质的研究也取得了不少成果，可参考文献[47]-[50]. 连通和局部连通是研究图的路圈性质的常用条件，在局部连通的概念提出之后，张存全在1989年提出了半局部连通的定义，并研究了无爪图在半局部连通条件下的一些性质．而后人们又相继提出了许多不同的相关定义，如：几乎局部连通，三角连通，2一阶邻域连通等．2fJfJ8年刘明颖『51]提出了m局部连通的概念，并初步讨论了k2一局部连通条件下无爪图和半无爪图的一些性质．本文正是以『s，t]图中一类具有典型意义的图-『s，l]-图作为主要研究对象，探讨其在H一局部连通条件下的路圈性质． 在第一章中，我们主要介绍了本文的研究背景以及已有的一些结果，以及文章 在第二章中，我们研究了[4，1]一图在不同连通度条件下的hamilton圈，得到下面的结果： 定理2．4 2-连通[4，l]-图是hamilton图的充要条件是它不同构于D，D是图2 l图2 3的2一连通[4，l]-子图． 推论2．6连通，k.-局部连通的[4，l]-图是hamilton图． 在第三章中，我们研究了[4，1]一图的圈可扩性，得到下面的结果： 定理3．4连通，p一局部连通的[4，l]-图是l一2圈可扩的．此结果是最好可能的． 推论3．5设G是＆（G）≥4的连通，p一局部连通的[4，l]-图，则G是完全l-2圈可扩的． 在第四章中，我们研究了[4，2]一图的路可扩性，得到下面的结果： 定理4．4设G是连通，虬一局部连通的『4，2l图，则G中任意一条满足6≤P＜v（G）的路P是可扩的．此结果是最好可能的． 定理4．5设G是连通，局部连通的『4，2l图，则G中任意一条满足6≤P＜v（G）的路P是可扩的．此结果是最好可能的．
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