【摘 要】
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论文的研究内容是有限交换群中零和自由序列的子序列和问题.它属于组合数学与数论的交叉研究,可以归结为组合数论这一国际上十分活跃的研究领域.近年来,子序列和问题的研究吸引了许多国内外学者,包括R.B.Eggleton,P.Erdos,J.E.Olson,I.Leader,A.Pixton,高维东,袁平之等,其研究成果已经相当丰富.本文我们重点关注一类特殊的序列——集合.令G是一个交换群,S(?)G是G
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论文的研究内容是有限交换群中零和自由序列的子序列和问题.它属于组合数学与数论的交叉研究,可以归结为组合数论这一国际上十分活跃的研究领域.近年来,子序列和问题的研究吸引了许多国内外学者,包括R.B.Eggleton,P.Erdos,J.E.Olson,I.Leader,A.Pixton,高维东,袁平之等,其研究成果已经相当丰富.本文我们重点关注一类特殊的序列——集合.令G是一个交换群,S(?)G是G上的一个子集,∑(S)表示群G中能够表示为S的子集元素求和的元素构成的集合,称为S的和集.论文将从直接问题和逆问题两个不同的角度出发进行研究.所谓直接问题即确定S的和集的元素个数,逆问题即确定S的和集的元素个数最小时集合S的结构.以下假设S是一个零和自由集合,即0(?)∑(S).论文主体分为以下三个部分.一、6元零和自由集合的逆问题.1972年,R.B.Eggleton和P.Erdos猜想|S|=6时,|∑(S)|≥19.2008年,高维东等人对该猜想作出了正面回答.本文确定了当|S|=6,|∑(S)|=19时零和自由集合S的结构.二、7元零和自由集合的逆问题.2010年,袁平之等人证明了当|S|7时,|∑(S)|≥24.本文证明了当|S|=7时,|∑(S)|=24当且仅当是阶为25的循环群.三、8元零和自由集合的和集的大小.结合前两部分的结论,我们证明了当|S|=8时,|∑(S)|≥30.值得注意的是目前我们仍然无法确定|∑(S)|的精确下界.
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