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本文研究一类以图像去噪和分割等应用问题为背景的非线性抛物型方程，证明了这类方程初边值问题粘性解的存在性和唯一性。这类方程具有如下形式：()u/()t=-|▽u|/|▽u|1-θE′v(u)(*)其中v=▽Gσ*u，E′v(u)表示如下凸泛函的Frechét导数：Ev(u)=∫∫Ω{g(v)|▽u|▽u|+βf(u)}dxdy由于Ev(u)不光滑，所以方程(*)具有较强的奇性。这是这个问题的主要困难所在。我们首先给出方程(*)粘性解的先验估计，之后研究方程(*)的如下光滑逼近方程：
()uε/()t=gε(▽G*uε)bε(▽uε)aεij(▽uε)uεxixj
+()gε/()pl(▽G*uε)[(▽Gxl*uε)·▽uε]bε(▽uε)
-cε(▽uε)(uε-Iε)(1+|uε-Iε|1+ε)α，(x，t)∈Ω×(0，+∞).应用拟线性抛物型方程的Schauder理论，可知以上光滑逼近方程的初边值问题存在唯一的经典解uε(x，t)。根据抛物型方程的极值原理，我们证明了uε(x，t)满足估计‖▽uε(·，t)||L∞(Ω)≤CT，和‖uε(·，t)-uε(·，s)‖L∞(Ω)≤CT|t-s|1/2。这样应用ArzelaAscoli定理即可推知存在数列εk→0，使相应的函数列uk(x，t)=uεk(x，t)在Ω×[0，T]上一致收敛，其极限函数便是方程(*)的初边值问题的粘性解。本文在最后也证明了粘性解的唯一性。