矩阵理论在控制理论,动态规划,统计学,梯形网络,运输理论和统计过滤等领域中有着广泛的应用.在线性控制系统中,能控性,稳定性,能观测性等许多重要性质的探讨都可转化为求解相应的线性和非线性矩阵方程.　　本文采用控制不等式方法,给出了定常线性系统中的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值的和(包括迹)的下界估计,得到了时变线性系统中的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值的和(包括迹)的上下界估计,改进和推广了一些已有的结果.　　第一章介绍了Lyapunov矩阵微分方程的应用背景和研究现状,并给出了本文所涉及到的记号和定义.　　第二章利用控制不等式,积分不等式以及特殊矩阵乘积的特征值不等式,结合Schur三角化定理与指数矩阵的性质,给出了定常线性系统中的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值的和(包括迹)的下界估计.在某些情况下改进了已有的一些结果,数值例子说明所得结果的优越性.　　第三章利用优化不等式和凸函数的性质,结合谱分解定理,矩阵的导数的特征值与矩阵的特征值的导数的一个关系以及不等式的放缩技巧,给出了时变线性系统中的Lyapunov矩阵微分方程解的特征值的和(包括迹)的上下界估计,并证明了所得结果推广和改进了已有的一些结果.数值例子验证所得结果的有效性.