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Keller和Segel1971年建立了经典的Chemotaxis模型,从此Chemotaxis现象得到了广泛深入的研究.本文研究如下模型：
{ut=△u-▽·(u▽v)+u(1-u), (x,t)∈Ω×(0,T),vt=△v+u/1+u-v, (x,t)∈Ω×(0,T), (1)u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x)=v0, x∈Ω.
аu/аv=0,аv/аv=0, (x,t)∈аΩ×(0,T).
通过构造能量不等式,半群理论以及一致Gronwall不等式证明如下定理：
若u0(x)∈L∞(Ω),v0(x)∈W1p(Ω),p>n,u0(x)≥0,v0(x)≥0则方程组(1)的解存在唯一,且有如下估计：
‖u(·,t)‖L∞(Ω)≤C,‖v(·,t)‖L∞(Ω)≤C ∨n≥1,∨t>0Budrene和Berg于1991年在研究大肠杆菌的实验中得到了一些有趣的结果,建立了三个变量的Chemotaxis模型,并且研究了数值解的稳定性.本文将研究其简化模型：
{ut=△u-▽·(u/(1+v)▽v))+u(w2/1+w2-u), (x,t)∈Ω×(0,T),vt=△v+wu2/1+u2-uv, (x,t)∈Ω×(0,T),wt=△w-uw2/1+w2, (x,t)∈Ω×(0,T),u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),w(x,0)=w0(x), x∈Ω
аu/аv=0,аv/аv=0,аw/аv=0, (x,t)∈аΩ×(0,T).
本文将通过构造V2Q(t,t+1)范数以及一致Gronwall不等式证明如下定理：
若uo(x)∈L∞(Ω),v0(x),w0(x)∈W1p(Ω),p>n,u0(x)≥0,v0(x)≥0,w0(x)≥0则n=1,n=2时方程组(2)的解存在唯一,且有如下估计：
‖u(·,t)‖L｜∞(Ω)+‖v(·,t)‖L∞(Ω)+‖w(·,t)‖L∞(Ω)≤C,∨t>0