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本文主要研究具有齐次势能的三个自由度的哈密顿系统的多项式可积性。具有齐次势能的m自由度的哈密顿系统是由哈密顿函数确定的,其中势能函数V(q1,…,qm)是k次齐次多项式或一个k次齐次多项式的逆。因为哈密顿函数本身就是哈密顿系统的一个首次积分,在m个自由度情形下,根据刘维尔完全可积定理可知,若存在另外(m-1)个与哈密顿函数H相互独立的且对合的首次积分,那么哈密顿方程是完全可积的。原方程可以通过这m个首次积分求解。在过去研究中,对于两个自由度下的齐次多项式势能V(q1,q2),在势能次数k=-3,-2,-1,0,1,2,3,4的情形,关于求解另一个独立的多项式首次积分Ⅰ的研究都有了十分完整的结果,甚至针对更高次数的情形也有过一些特例的讨论,但是对于高维自由度的讨论还很少。两个自由度的哈密顿系统,势能次数k=-1,0,1时,哈密顿系统完全可积的结论可以比较直接的得到。当势能次数2≤k≤5时,Hietarinta [Phys. Lett.A 96(1983),273-278]最初有过较为完整的讨论,并证明了势能次数k=2时,哈密顿系统完全可积的结论。随后由Maciejewski及Przybylska [Phys. Lett. A,327(5-6)(2004),461-473]给出了所有次数k=3时的势能形式满足哈密顿系统完全可积。之后再次由Maciejewski及Przybylska [J. Math. Phys.46 (6) (2005)062901]给出了除了这一类,所有次数k=4时的势能形式满足哈密顿系统完全可积,并且由Llibre, Mahdi和Valls [J. Math. Phys52(2011),012702,9 pp]补充证明了次数k=4时未解决的这类势能形式中,只有个别形式的势能满足哈密顿系统完全可积。势能次数k=-2时,在十分强的限制条件下,哈密顿系统才完全可积的结论由Llibre, Mahdi和Valls [J. Math. Phys. Lett. A 375 (2011),18451849]得到。同样由Llibre, Mahdi和Valls [Phys. D240(2011)1928--1935]解决了势能次数k=-3时,哈密顿系统仅在几种特殊的是势能形式下完全可积。本文中我们主要研究在三个自由度下具有齐次势能的哈密顿系统的多项式可积性,由于问题复杂性所限,这里着重研究了k=-2,-1,0,1,2的情形,并完全解决了这几个次数势能情形下的多项式可积性。对于次数k=-1,0,1,2的势能情形下,我们证明了哈密顿系统均完全可积,并可以找到除哈密顿函数以外的两个函数独立的多项式首次积分。在k=-2的势能情形下,我们给出了相应的哈密顿系统可积的充要条件,并给出了另两个函数独立的多项式首次积分的具体的表不。