插值是计算数学中的一个基本问题，在科学与工程很多领域有重要应用.其中，稀疏插值问题是一类有趣的、有重要应用背景但相对来说研究还不够成熟的问题，近年来受到越来越多的国内外学者的关注.多项式方程组求解问题自古以来就是一个重要并且困难的问题，是代数学、代数几何、计算数学与计算机数学的重要研究课题.本文研究由稀疏插值问题及与其密切相关的具有高度振荡系数的线性椭圆型微分方程数值解中衍生出来的多项式方程组的解的性质和高效率的解法.　　第一章简要地介绍了稀疏插值问题的发展和应用以及解多项式方程组的同伦方法的一些进展.　　第二章研究等距稀疏插值问题.对一般的采样数据，我们证明了具有2n个等距采样点的稀疏插值问题所衍生出来的多项式方程组恰好具有n个非奇异孤立解，并且它们都属于同一个等价类.利用该性质，我们给出了一种高效率的系数参数同伦方法.该算法在第一阶段不需要任何计算量，第二阶段仅需要跟踪一条路径即可求得该多项式方程组的全部孤立解.　　在第三章，对一般的多项式方程组，在给定变元分组下，我们证明了当多项式方程组的最高次齐次部分只有平凡解时，其孤立解的个数等于该变元分组所对应的多重齐次Bézout数.本章是第四章关于带跳点的等距稀疏插值问题所衍生出来的多项式方程组孤立解的性质研究的理论基础.　　第四章研究带跳点的等距稀疏插值问题.对带跳点的等距稀疏插值问题所衍生出来的多项式方程组，我们给出了一个关于其孤立解个数和解的等价类个数的猜想，并对部分情形，通过消元化简后用同伦方法证明了该猜想.随后，我们给出求该多项式方程组全部孤立解的高效的系数参数同伦方法.该算法在第一阶段只需很小的计算量，第二阶段所需跟踪的同伦路径的条数与解的等价类的个数相等，远远小于孤立解的个数.　　第五章研究具有高度振荡系数的线性椭圆型微分方程的稀疏解.与传统数值算法（如谱方法、有限元等）不同，基于真解可用很少几个具有较大权值系数的基函数的线性组合来很好地逼近的观察，我们采用不定基函数的离散化策略.这样，与稀疏插值问题类似，该问题可以归结为一类小规模的具有特殊结构的多项式方程组求解问题，而不是一个较大规模的线性问题.在此基础上，我们给出了求解该问题的高效的数值算法.此外，振荡性的增强不会改变该数值算法中所需要的基函数的数量.