【摘 要】
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欧式空间,球面,实射影空间,复射影空间在几何和拓扑领域都是十分常见的空间,具有很好的代数拓扑性质和几何性质.它们不仅是拓扑流形,还是微分流形,即具有光滑结构的拓扑流形.
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欧式空间,球面,实射影空间,复射影空间在几何和拓扑领域都是十分常见的空间,具有很好的代数拓扑性质和几何性质.它们不仅是拓扑流形,还是微分流形,即具有光滑结构的拓扑流形.很多书籍在介绍某个拓扑性质或者几何性质时都会以这四种常见空间为例,但是没有哪本文献对这些空间的拓扑性质和几何性质进行全面介绍,甚至提到的某些结论可能没有进行证明.基于这些空间的重要性,本文对这四种空间重要的拓扑性质和几何性质进行了一个全面的完整的综述和证明.这些重要的拓扑性质包括:它们的基本群和万有复叠空间,它们分别以Z和R为系数的同调群以及上同调群.在几何学上,往往研究赋予了某种结构的微分流形,比如说赋予了辛结构的几何分支称为辛几何,辛几何的起源是经典力学和光学.这几种常见的空间并不是全部赋予了辛结构.本文利用辛几何的知识对于这几种空间在不同维数时是否具有辛结构进行了讨论和证明.内容大致分为以下部分:一、基本群和万有复叠空间的定义和一些性质.四种常见拓扑空间在不同维数时的基本群和万有复叠空间的结论和证明.二、拓扑空间的同调群的定义和一些公理.四种常见拓扑空间在不同维数时的以Z为系数的同调群和R为系数的同调群的结论和证明.三、拓扑空间的上同调群定义.四种常见拓扑空间在不同维数时的Z系数上同调群和R系数上同调群(de Rham上同调群)的结论和证明.四、辛流形定义及必要条件.四种常见拓扑空间在不同维数时是否为辛流形的结论和证明.
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