丢番图方程即为不定方程，对它的研究历史源远流长，许多很重要的问题已经解决，更多的问题还在等着数学家们去为之奋斗.本文考虑三个问题：方程aX4-bY2=c，a，b＞0的解的个数，Thue方程解个数的上界估计，乘积中的方幂.我们有如下结果：　　 1.利用páde逼近，证明了方程X2-(a2+h2)Y4=-h2在h=pn，2pn，p为素数，且满足一定条件的情况下，互素的正整数解的个数不超过两个，这在某种意义下是最佳的(即存在互素正整数解个数为两个的这类方程).对于方程X2-(1+a2)Y4=-2a,a≥1，我们在结合Dujella得到的一个关于经典Legendre定理的推广后，得到了它的正整数解的个数不超过三个.　　 2.设F(x，y)=a0xr+a1xr-1y+…+aryr为一个不可约的整系数二元齐次多项式，degF=r≥3，记方程|F(x，y)|=1的整数解个数(我们把(x，y)与(-x，-y)算作一个解)为Nr，利用Bombieri和Schmidt以及Stewart的方法，在做了更加细致的讨论后，我们得到如下结果：(1)当r≥24时，Nr＜414r.进一步的，若r≥100，则Nr＜375r.(2)当4≤r≤23时，我们对判别式D(F)大于某个常数的F，给出了其整数解的个数的一个上界估计.　　 3.设f(x)=ax2+bx+c为整系数二次不可约多项式，当n充分大时，Tn=n∏k=1f(k)不是一个整数的方幂，即存在常数C=C(a，b，c)＞0，使得当n＞C时Tn不是一个整数的方幂.而对于多项式f(x)=ax2l·3m+b∈Z[x]，l≥1，m≥0，l+m≥2，ab≠0，f(k)≠0，k≥1，在abc猜测下，我们有如下结果：当n充分大时，乘积Tn=n∏k=1f(k)不是r次方幂，其中r≥2l·3m，即存在常数C=C(f)＞0，使得当n＞C时，Tn不是r次方幂.对于一些特殊的整数b，我们考虑多项式f(x)=x2+b，b≠0在三个连续正整数处取值乘积中的方幂(考虑平方时对应的是一条椭圆曲线)，并得到了若干结果.