变分方法研究泛函极值问题的求解。经过历代数学家的努力,求解微分方程借助于广义解的寻求和泛函极值问题最终建立起联系,从而现代变分学的中心任务演化为:构造恰当泛函,通过其临界点分析微分方程的解。很多时候方程的求解很困难,通过对泛函的临界点的研究,可以对微分方程系统的解的性态有充分的了解。泛函极值问题解的存在性与泛函的定义空间紧密相连。本文首先介绍了一些函数空间的基本知识,以搭建好变分法演出的舞台,在一定程度上具有自闭性。而后我们在此基础之上试着讨论3种不同类型的方程对应的泛函Fréchet可微的充分条件。在方程求解与泛函极值问题建立起联系后,我们需要保证泛函极值点存在这一必备条件。而极小极大化方法证明了鞍点型临界点的存在性,山路引理就是其中一则重要的结果。紧接着我们讨论了变量分离型的Hamilton系统满足山路引理的充分条件,得出了一大类2阶方程存在同宿解的结论。本文最后我们讨论了平面可积系统与Hamilton系统的一般理论,得出了一些不同于经典文献的结果,譬如判定中心型奇点的充分条件。进而用经典的Fr?mmer方法全面研究了变量分离型平面Hamilton系统孤立奇点附近的动力学。