蒙特卡洛方法是通过不断产生随机数序列来模拟过程。它是通过产生随机数来实现的，所以计算出的问题的解存在一定的误差，所以用蒙特卡洛方法求解问题最好加入误差分析，以便可以求出原问题所需精度范围内的解。本文的研究目的在各向异性的Sobolev空间建立蒙特卡洛积分误差，并且证明使用log2n个随机比特就可以实现n维的蒙特卡洛积分误差的最优化。而通常的蒙特卡洛方法需要dn个随机数。本文主要利用前人对蒙特卡洛积分和Sobolev空间的研究基础之上，通过推导证明了使用log2n个随机比特实现n维的蒙特卡洛积分误差的最优化的可行性，优于通常蒙特卡洛方法的随机数，并且得出误差边界是n-8(r)-1/2。这是本文的创新点。本文主要包括以下六部分内容：第一部分是引言。这部分内容阐述了文章的选题意义和国内外研究现状。第二部分着重叙述了蒙特卡洛方法及其基本原理思想和解题的三个步骤，进而引出了蒙特卡洛积分和减小误差的技巧。第三部分介绍了Sobolev空间和广义的Sobolev空间并介绍了各向异性的Sobolev类。第四部分总结前人的证明，提出了论文论证的引理，为下文证明做了铺垫。第五部分是文章的重心，证明了借助于少量随机比特的蒙特卡洛积分。第六部分是结论。