【摘 要】
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无网格方法是继有限元法之后发展起来的一种新型数值方法,因其形函数构造仅需要问题所在区域或边界的节点信息,不需要形成区域或边界网格,因而具有前处理简单、计算精度高、可消除体积闭锁现象等特点,是目前科学和工程计算的重要数值方法之一.移动最小二乘法是无网格方法中构造形函数的最重要方法之一,很多重要的无网格方法都是基于移动最小二乘法建立的.但是移动最小二乘法的形函数不满足Kronecker函数的性质,使得
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无网格方法是继有限元法之后发展起来的一种新型数值方法,因其形函数构造仅需要问题所在区域或边界的节点信息,不需要形成区域或边界网格,因而具有前处理简单、计算精度高、可消除体积闭锁现象等特点,是目前科学和工程计算的重要数值方法之一.移动最小二乘法是无网格方法中构造形函数的最重要方法之一,很多重要的无网格方法都是基于移动最小二乘法建立的.但是移动最小二乘法的形函数不满足Kronecker函数的性质,使得基于移动最小二乘法的无网格方法不能像有限元法那样直接施加本质边界条件. Lancaster提出的插值型移动最小二乘法的形函数虽然满足Kronecker函数的性质,但是该方法只能采用在节点处奇异的权函数,这样在计算形函数在节点处的导数时较为复杂,另外奇异的权函数在数值上也无法实现.为克服Lancaster的插值型移动最小二乘法采用奇异权函数的缺点,本文提出了采用非奇异权的新的改进的插值型移动最小二乘法,研究了该方法的误差估计,然后基于该方法建立了改进的插值型无单元Galerkin方法和改进的插值型边界无单元方法.主要研究内容如下:提出了采用非奇异权的新的改进的插值型移动最小二乘法,克服了Lancaster的插值型移动最小二乘法采用奇异权函数的缺点.该方法计算形函数时待定系数比传统的移动最小二乘法少一个,且形函数满足Kronecker函数的性质,使得基于该方法建立的无网格方法可以直接引入边界条件,可提高计算精度和计算效率.研究了n维情形下采用非奇异权的改进的插值型移动最小二乘法的误差估计,得到了该方法的逼近函数及其一阶和二阶偏导数的误差收敛阶,并通过数值算例验证了理论结果的正确性.利用本文提出的新的改进的插值型移动最小二乘法建立形函数,结合势问题的Galerkin弱形式,提出了势问题的改进的插值型无单元Galerkin方法.与传统的无单元Galerkin方法相比,本文提出的改进的插值型无单元Galerkin方法具有形函数待定系数少、可直接施加本质边界条件等优点.与基于插值型移动最小二乘法的插值型无单元Galerkin方法相比,本文方法采用了非奇异的权函数,克服了其采用奇异权函数导致的计算不便.数值算例说明了本文方法具有较高的计算精度和计算效率.基于本文提出的改进的插值型移动最小二乘法和势问题的边界积分方程,提出了势问题的改进的插值型边界无单元法.与传统的边界无单元法相比,本文改进的插值型边界无单元法具有形函数待定系数少、可直接施加本质边界条件等优点.与原有的插值型边界无单元法相比,本文方法克服了其采用奇异权函数导致的计算不便.数值算例说明了该方法具有较高的计算精度.利用本文提出的改进的插值型移动最小二乘法建立形函数,结合二维弹性问题的Galerkin积分弱形式,提出了二维弹性问题的改进的插值型无单元Galerkin方法.弹性问题的改进的插值型无单元Galerkin方法同样具有权函数非奇异、形函数待定系数少、可直接施加本质边界条件等优点.数值算例说明了该方法具有较高的计算精度.利用本文提出的改进的插值型移动最小二乘法建立形函数,结合弹塑性问题的增量理论和Galerkin弱形式,提出了二维弹塑性问题的改进的插值型无单元Galerkin方法.弹塑性问题的改进的插值型无单元Galerkin方法也具有权函数非奇异、形函数待定系数少、可直接施加本质边界条件等优点.数值算例说明了该方法具有较高的计算精度和计算效率.本文对插值型移动最小二乘法及其数学理论的研究,为进一步研究新型无网格方法以及无网格方法的数学理论建立了一定的基础;对线性和非线性问题的插值型无网格方法的研究为高效高精度地求解复杂非线性问题提供了新的数值方法.
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