在本论文中,我们考虑了两类随机过程：稳定长记忆过程和不稳定长记忆过程。主要研究其概率性质、估计方法、预测方法和统计检验的性质。稳定长记忆过程在过去的十几年中被广泛研究。一些长记忆过程被证明具有自相似性质,这一性质在做参数估计时非常有用。本文回顾了连续时间序列和离散时间序列的自相似性质,并得到了两个命题。我们证明了稳定的长记忆时间序列是渐近二阶自相似的,而稳定的短记忆时间序列不是渐近二阶自相似的。于是,我们把这一结果应用于一些特殊的长记忆时间序列上,如$k$因子GAMA过程,$k$因子GIGARCH过程等。同时我们也研究了一些异方差过程以及伴有转换和跳跃的模型的自相似性。我们回顾了稳定长记忆时间序列的参数估计方法,包括参数方法(如极大似然估计、近似极大似然估计方法)、半参数方法(如GPH方法,Whittle方法,Robinson方法)。我们也研究了估计的一致性和渐近正态性质。对经济和金融时间序列而言,检验稳定长记忆随机过程的季节性和非季节性分数整合阶数是非常重要的。Robinson (1994)检验被广泛应用于各种时间序列模型中。我们通过蒙特卡罗实验,研究、比较了在不同大小的样本大小下这一检验的性质,为那些想要应用Robinson检验的实际应用者提供了很好的参照标准。在实际应用中,我们经常会观察到金融数据的季节性和时变长记忆行为,于是我们认为这个时间序列在一定意义下是不稳定的。考虑到这种现象,我们提出了一种新的随机过程：局部稳定的$k$因子Gegenbauer过程。同时,通过离散小波包变换,我们提出了相应的估计时变参数的算法,证明了估计的一致性和渐近正态性。通过模拟实验,我们证明了算法的robust性。我们也提出了对这一不稳定随机过程作预测的方法。我们把这一新的模型应用于日本平均经济指数(NSA 225)的分数整合模型中的误差纠正项,以及西德州轻质原油公司(WTI)的原油价格的数据中,同时我们做了相应的预测。