高阶张量在信号处理、数据挖掘、神经科学、计算机视觉等领域中都扮演着重要角色.因此,从高阶张量中提取出有用信息是一项非常重要的科研任务.张量分解、张量低秩逼近则是完成这项任务的重要手段.本文从新的角度出发,给出了与已有定义不同的张量特征值、张量分解、张量秩一逼近方法.并对一类特殊结构张量—M张量的H特征值求解作出了研究.本文的主要研究思路和取得的成果如下:1.矩阵特征值在矩阵分析中发挥着重要作用,张量作为矩阵的高阶推广,其特征值的定义在张量研究中也具有重要意义.本文基于把张量看作一个空间到另一个空间映射的思想,定义了一种保证特征空间稳定性的特征值.并通过“P次型”极值问题的最优性条件给出了新定义张量特征值与已有张量特征值的统一形式,为定义更多形式的张量特征值提供了可能.本文还举例分析了一些特征值的性质和研究意义.除此之外,本文也给出了张量奇异值的统一形式.并借助张量与映射的关系定义了新的张量乘法,进而提出了张量QR分解、LU分解、特征分解、奇异值分解的定义.2.秩一逼近在高阶张量研究中占有重要地位,现有的计算秩一逼近的有限步方法一般都是基于张量的矩阵化.本文给出了两种计算张量秩一逼近的方法.首先,基于张量元素下标的分割,本文提出了张量矩阵化的一种动态策略,并设计了一种计算张量秩一逼近的数值方法.其次,不同于一般把张量看作矩阵再用矩阵奇异值分解作为逼近工具的方法,本文还尝试将给定的张量转换为三阶张量,并将投影技术引入到了张量秩一逼近的计算中.复杂性分析显示,本文提供的算法的计算量与现有算法的计算量基本相同.此外,数值实验结果表明,与现有的有限步算法相比,本文所提供的算法能为93%以上的算例提供更精确的秩一逼近.3.近些年,带有特殊结构的张量越来越受重视,而M张量作为特殊结构张量的代表也成为了国内外学者的重要研究对象.本文提出了一种计算M张量最小H特征值的交替最小二乘算法:将最小特征值的计算看成一个优化问题,并通过交替求解两个子问题对其进行求解.这两个子问题,其中一个只需要通过简单的求导运算进行求解,另一个则是一个多重线性方程组问题.本文在借助已有的解多重线性方程组的算法的同时,还对其进行了改进.数值实验结果表明,改进后的解多重线性方程组的算法比已有的需要更少的迭代步数.而本文提出的计算M张量最小H特征值的交替最小二乘算法在某些例子上也远优于已有的计算张量最小H特征值的方法.