微分代数方程(DAE)在电子、电力等系统中有着重要的应用.本文首先采用DAE的几何观点统一地叙述Reich，Rabier，Rheinboldt，Thomas和Tuomela等人的工作.根据DAE的几何理论，对DAE完备化能得到一维分布和向量场的信息. 通过将DAE完备化并去掉奇异部分，可以把DAE化为流形上的常微系统(ODE)；也可以将DAE化为奇异摄动系统而得到ODE.根据这两种方法，DAE的动力学研究可以归结为动力系统的研究.本文还分析了一类具有混沌吸引子的Lorenz型ODE，较好地估计了混沌参数区域. 为了把DAE的几何理论应用到实际中，本文建立了软件框架和计算体系，试图给出一个DAE分析的自动化系统.应用中的DAE的阶数都很高，需要通过计算机来完成DAE的完备化和数值计算.以自由软件为基础，把DAE的算法和软件集成到计算自动化体系中是可行的. 电力系统的数学模型一般是指数为一的DAE，可能存在障碍点.电力系统稳定性问题可以分为静态和动态问题.静态稳定性问题由带参数DAE描述，可以化为不等式问题，这里可行域的估计很重要.本文在Venkatasubramanian等的基础上，指出可行边界由鞍结、Hopf、奇异诱导分岔和约束四种主要边界构成.由单机无穷大系统的分析，发现域的估计强烈依赖于域的几何结构.而动态稳定性问题则可由分时间段DAE描述，涉及吸引域的估计.通过可行边界附近的小扰动或短路造成的大扰动，系统会出现暂态失稳.本文引入定义良好的分时间段DAE数学模型作为研究电力系统暂态稳定性的基础，以消除障碍点带来的数值积分问题.基于电力系统暂态过程的近哈密顿性质，运用哈密顿系统理论，本文得到了EAC的数学描述，并提出暂态能量准则.本文还从数学上描述了暂态稳定性问题中较重要的暂态能量函数法和CCEBC/EEAC法.后者说明了多摆失稳和孤立稳定域的重要意义.