凸集及测地线的概念起源于几何学、拓扑学、函数理论及相对论理论等学科。为了研究图的凸性，人们在图中定义了测地集与测地数。测地集与测地数不仅与图论中的某些问题如路的覆盖、路的分解等密切相关，又在选址问题、网络设计问题及优化控制等实际应用方面中有重要理论意义.　　 本文主要考虑具有的测地集和各种其他形式的测地集，如边界测地集，边测地集，线测地集.此外，考虑了部分积图的运算的测地集.最后考虑了有向图的测地集及有向图的谱.　　 (一)在第一章中，我们对测地集概念的产生背景及测地集问题的研究进展和现状作了阐述.　　 (二)在第二章我们首先研究图的测地集的性质.部分揭示了测地数与图的其它结构参数如极点数、直径、团数等之间的关系，随后确定了部分图类的边界测地集的存在性，并给出了图G的边界测地数gb(G)与测地数g(G)的关系.最后研究了图的边测地集与线测地集，确定了一些简单图类的边测地数Ge(G)和线测地数Gl(G).主要结果如下：　　 (ⅰ)设G是距离遗传图且不包含K2，3作为诱导子图，则g(G)=gb(G).　　 (ⅱ)若G是n阶余图，则G存在边界测地集.若G至少包含一个极点v且d(u)<6对任意的u∈N(v)成立，则g(G)=gb(G).　　 (ⅲ)对于任意的正整数2≤a≤b，存在连通图G使得g(G)=a和ge(G)=b.　　 (ⅳ)设T是叶子数为k的n阶树，则g1(T)=k，且对T中的叶子集合S中的顶点任意标记下标为S={v1，V2，…，vk}，S都构成了T的最小线测地集.　　 (三)在第三章中，考虑了图的积图运算的测地集与测地数.确定了在强积图运算下测地集的特点，并刻画了极点测地图的测地数.同时，研究了强积图运算下的边界点集，轮廓点集，离心点集和边缘点集等的性质.主要结果如下：