论文部分内容阅读
有关离散群几何的研究已经有一百多年的历史,其主要研究对象是双曲度量下的等距映射群,也就是M(o)bius变换群.这一课题随着双曲几何的发展而日益完善,其侧重点也在不断变化,其中在离散群中孤立性的相关研究有着重要地位.通过对孤立性的定量估计,来明确离散的M(o)bius群的度量结构,这就可以描述该群在双曲空间中的几何作用.
本文延续了JorgensenT.的工作,在离散M(o)bius变换群的二元生成子群中,对其元素的孤立性进行了深入研究.结果表明,在双曲度量空间下,可以用不同的参数来描述和估计变换的孤立性.以上工作主要从分析角度和几何角度着手进行的.在几何上,主要研究变换f,g不动点的关系对它们的极限球或超球之间位置的影响.完全使用H3中的几何学对极限球和超球作出了刻画,并且将其作为Jorgensen不等式的一种几何解释.在分析上,主要研究了离散群中带有共面轴的双曲变换的领口定理,并给出了测地线与平移长度的若干估计.
本文完成的主要工作如下:
1.若是离散群且二者的不动点集合相等,则当f,g为抛物变换时,范数越大,极限球越小;当f,g为双曲变换时,迹越大,超球越小;当f,g为椭圆变换时,旋转角越大,超球越小.如果是离散群,f共轭于g且没有公共不动点,则存在一个正数,使得f,g的极限球或超球不相交.
2.若离散,f,g均为非抛物元素,其轴ax(f)和ax(g)共面且不交,t(f),t(g)为f和g的平移长度,当f,g都是双曲变换时,有sinh(t(f)/2)shah(t(g)/2)shah(g)sinh(δ)≥√d/2;当f,g都是斜驶变换,且其领口δ满足sinh(δ)≤1时,有|β(f)β(g)|sinh4/3(δ)≥b＞0.792...;以及sinh(t(f))sinh(t(g))sinh4/3(δ)≥3b/16π2,当f是斜驶变换,g是阶数n≥3的椭圆变换时,有sinh(t(f))sin2(π/n)sinh2(δ)≥0.333....