小波变换是一个非常有用的工具.它将函数。厂的信息转化为不同频率的分量信息,通过研究这些分量的信息来得到函数的性质。目前主要有连续小波变换和离散小波变换两种形式，离散小波通常可以构成L2(Rd)里的框架,称为小波框架，小波框架是框架理论研究的重要方向。框架理论是Duffin和Schaeffer[1]在1952年研究非调和Fourier级数时引入的,1986年由Daubechies,Grossman和Meyer[2]重新研究,并引起了学者的兴趣.框架有很多很好的性质使得它在函数空间的刻画,信号处理和其它领域有着重要的应用.对于框架理论和它的应用,请参考[3,4,5,6,7,8,9]。由于框架理论在现代时频分析里扮演着重要角色,它在过去的20年里快速发展,尤其是小波框架理论和Gabor框架理论。在研究Gabor框架时,Ramanathan和Steger[10]引入了齐次逼近性质这个很重要的工具.在研究小波框架时,齐次逼近性质也是很重要的,并在实际中很有用,因为小波框架的齐次逼近性质意味着用有限项重构一个函数所产生的误差在时间-尺度平移下是不变的。　　 本研究第一章主要研究连续小波变换的齐次逼近性质。在第一章第一节里。我们首先给出一维情况下连续小波变换的齐次逼近性质.我们指出每一对允许性小波在L2(R)意义下具有齐次逼近性质,即定理1若ψ1,ψ2∈L2(R)是允许性小波且Cψ1,ψ2≠0,则(ψ1,ψ2)在L2(R)中具有齐次逼近性质。但是在逐点收敛意义下齐次逼近性质一般是不成立的.因此紧接着,我们给出逐点意义下齐次逼近性质成立的一个充分条件,结论如下：定理2设ψ1,ψ2,xψ1,xψ2∈L1(R),ψ2可导且ψ′2∈L2(R),ψ1(0)=0=ψ2(0)。若有界函数f是指数α H(o)lder连续,0<α≤1,则对任意ε,s0>0,存在常数A2>A1>0使得对任意的(s,t)∈(),这里|s|≥s0,x∈R,A′2≥A2和00,都存在A2>A1>0使得；(ⅱ).对任意ε>0,存在A2>A1>0使得这说明了逐点意义下齐次逼近性质成立当且仅当小波和重构的函数f的Fourier变换在R＼{0}上具有紧支集。在第一章第二节中,我们得到了一个关于小波逆变换的结果,这个结果改进了Daubechies[4],Holschneider和Tchamitchain[17]的相关结果。定理4令(ψ1,ψ2)是一对允许性小波且Cψ1,ψ2≠0.则对任意f∈L2(Rd),然后,第一章第三节利用第二节的相关结果研究了高维小波变换的齐次逼近性质。我们指出在一维情况下成立的结果一般在高维也可以得到类似结论,但当维数大于1时,上述充要条件已经不再是允要条件,而只是充分条件,这与一维的情况不同,具体见这节的反例。小波框架的齐次逼近性质使得用有限项重构一个函数所产生的误差在时间-尺度平移下是不变的,但要确定一列点和一个函数所构成的是小波框架并不容易.因此在第二章里,我们考虑用小波逆变换的黎曼和来近似原函数,即考虑当p→1+,q→0+时,级数。首先我们研究了当分析小波和重构小波相同时,即ψ1=ψ2时,黎曼和收敛的必要条件,得到了如下结果:其中级数在L2(Rd)里收敛。最后我们考虑了有限黎曼和的收敛性。最后一章研究的是框架以及framing的扩展理论.Hilbert空间框架的扩展理论是从几何的角度来分析Parseval框架和最一般的框架。框架的扩展理论可以简化框架理论里很多结果的证明,同样可以给出很多框架的新结果和应用,详细见[7].文章[18]推广了框架的概念,引入了framing的概念,并相应的得到了framing扩展理论.一般情况下Hilbert空间的framing扩展空间是Banach空间,不一定是Hilbert空间,这是framing和框架不同的地方.本文第三章主要研究framing的扩展空间是Hilbert空间的充要条件。第三章第一节回忆了框架和framing的扩展理论,第二节里给出了framing的扩展空间是Hilbert空间的充要条件,给出了两个具体的framing例子。