本文对Critical number及其逆问题进行了研究。假设G是一个有限群,S是G的一个子集且不含单位元。如果G的每个元素都能表示为S的子集和的形式,那么我们称S为G的一个堆垒基,有时我们也称其为G的一个完全集合。Critical number cr(G)是最小的整数t使得每一个势大于t的集合都是G的一个堆垒基。决定有限群的critical number是加法数论中一个重要的课题。cr(G)这个常数的研究始于1964年Erd6s和Heilbronn在循环群Zp上所做的工作。他们证明了如果S是Zp＼{0}的一个子集|S|≥3√6p,那么S的所有子集和并上{0}为G。Olson随后证明了Cr(Zp)≤√4p-3+1。经过很长一段时间,Dias da Silva and Hamidoune在1994年得到了cr(Zp)≤√4p-7；此结果是严格的。Man和Olson在1967年对合数阶有限群的critical number进行研究,并得到结果cr(Zp()Zp)≤2p-1。随后,Mann和Wou合作证明了cr(Zp()Zp)=2p-2。自那以后,许多数学家都致力于critical number的研究。直到最近,有限交换群的critical number才被最终决定。然而,关于非交换群的critical number的研究是公开的。到目前为止,只有H.B.Mann,J.E.Olson,and W.Gao得到的少量结果。综合运用Alon,Gao,Hamidoune and Diderrich的方法,我们在第二章决定了所有有限幂零群的critical number。同时我们也研究相关的逆问题。我们在第三章刻画了pq阶循环群的非完全集的结构。在第四章利用Vu的方法,我们得到了有限幂零群的非完全集的结构。