整数矩阵的有限群有很长的发展历史，它的研究融合线性代数、数论、群论等学科。　　矩阵的有限群在抽象代数的第一节课的例子中就出现了，这些例子中的有限群大部分都是整数矩阵群。这些群提供了一个描述新概念、提出新问题的框架，这些群还有很多意想不到的、很奇妙的性质。比如，闵可夫斯基证明了一个的出乎意料的结果:GL(n，Z)的有限子群只有有限多个同构类。另一结果是，GL(n，Z)的元素有限多个阶数，令高兴的是，可以通过学过的线性代数的知识得到这些阶数。一般来说，这些阶数的数量随着n的增大而增大，虽然如此，它还有一个有趣的性质:从GL(2k,Z)到GL(2k+1，Z)，他们的元素的阶数却保持不变。　　研究GL(n,Z)和GL(n,Q)的有限子群应该考虑的问题和主要的结果。对一个正整数n，GL(n,Z)的有限子群是什么？GL(n,Z）的元素的可能的阶数是多少（还是对固定的n）?首先，观察到只要n足够大，任何一个有限子群都同构与GL(n，Z)的一个子群，那么这个问题就变为讨论这一固定整数n的问题了。其次，GL(n，Z)的有限子群有有限多个同构类，这是一个令人出乎意料的结果。最后，GL(n，Q)的任何有限子群都相似于（并且它也同构于）GL(n,Z)的一个子群。　　本文建立在已有的一些结论的基础上，从最小多项式和特征多项式入手，发现了一个独辟蹊径的方法，研究GL(2，Z)、GL(3，Z)、GL(4，Z)的扭元，给出了所有的GL(2，Z)、GL(3，Z)、GL(4，Z)的扭元共轭类。