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图的能量是化学图论中的一个重要课题，它来源于化学研究领域．化学家发现共轭碳氢化合物形成的实验热度与总的π—电子能量(Eπ)紧密相关．而在Hückel分子轨道(HMO)近似结构下，计算分子总π—电能Eπ可归结为计算其对应的分子图G的所有特征值的绝对值之和，即如果G是一个任意的图，我们也可利用上面的等式来定义E(G)并称之为图G的能量．关于E(G)的综述性文章，可见[37]
I．Gutman和B．Zhou在2006年[39]推广了E(G)的概念，定义了图的Laplace能量LE(G)：设G是一个n阶m边的图，其Laplace特征值记为μi，i=1，2，…，n，则()通过进一步研究发现LE和E具有很多相似的性质([39，106])，当然LE也失去了E的一些特性。
结合LE和E的异同点，我们给出了拟Laplace能量/EL(G)的定义：我们进一步发现LEL不仅具备类似E的一些性质以及一些LE所不具备的性质，而且它本身还有很多很好的性质[71]．著名的化学图论专家I．Gutman对该文有很高的评价，预言LEL将来有可能被称为‘Liu—energy’。
本研究主要结果如下：
1.研究具有相同能量的n阶连通非同构非同谱的图(即同能图)，证明了当n≥8时，存在n阶连通非正则同能图[66]．同时在低能量树方面(即能量小于其阶数的树)，我们[67]证明了Gutman等人[46]的一个猜想．
2.关于图G的E(G)和LE(G)的大小关系方面，我们给出了E(G)>LE(G)的例子[68]，从而否定了E(G)≤LE(G)的猜想[47]．进一步地，我们构造出无限多的具有相同能量和相同Laplace能量的非正则非同构连通图(即，E—L同能图)[69]．另一方面，我们把LE的概念推广到任意的Hermite矩阵，定义了Hermite矩阵的能量，记为HE.并考察了一般的Hermite矩阵及与图相关的Hermite矩阵的能量HE的性质，从而把LE和E的概念统一起来[70]。
3.结合LE和E的定义，我们定义了拟Laplace能量LEL，并发现它具有很多很好的数学性质[71]．进一步地，我们发现LEL的同能图(记为LEL—同能图)数量远远少于LE和E的同能图数量．特别是LEL—同能树，直到15阶都不存在一对LEL—同能树[72]．由于树在化学的图结构研究中的重要地位，若可进一步证明每棵树的LEL都是唯一的，则LEL就将具有很好的实际应用意义．
4.图G的Estrada指数定义为()，其中λi，i=1，2，…，n是图G的谱，是Estrada于2000年提出来的[24]，经研究发现该指数在化学上以及在某些复杂网络中具有很强的实际应用背景[25—29]．关于Estrada指数，我们主要刻画了它的一些数学性质，得到了它的一些界[73]，并且证明了[83]中关于取得最大Estrada指数的树的猜想[74]。