边界元方法是求解工程与科学问题的常用数值分析方法之一,相对于有限元方法而言,其主要优点在于只对求解区域的边界进行剖分,使得问题的维数降低了一维。边界离散的优点使边界元法很适合模拟具有复杂边界或者界面的结构,如多孔或随机多孔材料。然而,边界元法形成的系数矩阵通常是非对称的满阵,常规求解技术效率低下,使得边界元法不能有效处理大规模问题。而基于核函数解析展开的边界元快速算法,虽然将边界元方法求解的计算量降低了一个量级,但由于核函数的复杂性,难以寻找核函数合适的解析展开,限制了此类方法的广泛应用。本文围绕多孔或随机多孔结构非线性热传导热辐射耦合问题,建立以不依赖于核函数解析展开的边界元加速算法为核心的高效计算方法,以达到减少计算量和提高计算精度的目的。该算法体系对无法寻找核函数解析展开形式的复杂问题具有一定的普适性。主要内容和研究结果如下:1.对于多孔材料的非线性热传导热辐射耦合问题,发展了核无关边界元快速算法。首先推导了非线性热传导热辐射耦合问题的边界积分方程,并给出了边界积分方程的边界元离散格式。然后基于切比雪夫插值方法构造了核函数的数值展开式和传递格式,包括多极展开和局部展开,并构造了新型的自适应树结构来存储相关系数矩阵信息及快速实现矩阵-向量的乘积。最后给出了非线性热传导热辐射耦合问题的边界元快速求解算法过程。从对计算量的分析及数值算例可知,本文提出的核无关边界元快速算法在求解非线性热传导热辐射耦合问题方面具有准确性和高效性。2.随机多孔材料中孔洞随机分布且形状复杂,具有典型的多尺度特征,传统数值方法难以分析评估其性能。针对随机多孔材料的热传导问题,发展了基于随机渐进均匀化理论的多尺度边界元方法。首先基于尺度分离假设,利用渐进均匀化方法将热传导问题分解为局部单胞问题和宏观均匀化问题。然后基于径向基函数方法推导了局部问题和宏观问题的边界积分方程,进一步给出了不依赖于体网格的边界元离散格式。最后给出了基于蒙特卡洛技术和边界元方法的统计多尺度算法过程。数值结果表明,统计多尺度边界元方法能够有效地预测随机多孔材料的热传导性能,且极大地提高了计算效率。3.随机多孔材料非线性热传导热辐射耦合问题是另外一个复杂而重要的问题,针对该问题本文发展了新的统计多尺度边界元方法及其数值算法。首先给出了随机孔洞中辐射边界条件的数学形式和非线性热传导热辐射耦合模型。然后基于尺度分离假设和多尺度渐进展开,建立了非线性的局部单胞问题和宏观均匀化问题。然后基于边界元方法建立了单胞问题和均匀化问题的离散形式。最后给出了基于蒙特卡洛技术的统计多尺度边界元算法过程。数值结果表明,统计多尺度边界元方法能够有效地求解随机多孔结构的非线性热传导热辐射耦合问题。4.针对多孔材料结构的散热拓扑优化问题,提出了基于水平集方法和边界元快速方法的拓扑优化算法。首先将设计域的结构边界定义为零水平集,通过零水平集的演化更新,准确捕捉结构边界变化及形状,从而方便施加物理边界条件。其次利用核无关边界元快速方法求解变化区域上的热传导及其对偶问题,有效避免了设计域边界变化导致的有限元体网格重构。最后给出了耦合水平集方法和边界元快速方法的拓扑优化迭代算法过程。数值算例表明,该方法有效地提高了计算和优化效率,为大型结构散热的拓扑优化提供参考。