微分算子理论在现代物理学、经典物理学、微分方程以及其它工程技术方面都有比较重要的应用,是泛函分析的重要研究内容,也是现代数学的基础理论.其研究领域涉及微分算子的自伴扩张、谱理论、数值方法、亏指数理论以及按特征函数展开等相关问题.微分算子理论不仅是许多数学问题的重要理论依据,也是工程领域的重要支柱.因此,微分算子理论一直是许多数学研究者所关注的焦点.中外好多数学工作者致力于这一领域.　　英国数学家Eastham M. S. P对具有周期实系数的二阶对称微分算子(即Hill算子)进行了研究,证明了该类算子谱的间隙就是对应微分方程不稳定区间的并集,不稳定区间是由一些开区间构成,并且还对特殊情形下的间隙长度进行了估计;同时,还对其最小特征值进行了分析和讨论.对于高阶微分算子情形是否还会有如此结论呢?本文将围绕微分算子理论中有关高阶微分算子的谱的间隙和最小特征值问题进行分析和讨论.同时,经过讨论给出了高阶微分算子存在间隙,并且其间隙是由所对应的微分方程的不稳定区间构成,对其特殊情形下的间隙长度进行了估计,对其对应的最小特征值的临界问题也进行了分析.　　本文主要分为四个部分进行讨论:第一章为绪论,介绍本文所研究问题的背景和现实意义;第二章为预备知识,给出在研究过程中所用到的概念、引理和一些重要的结论,包括自伴算子的定义,Parseval等式等相关知识;第三章为2n阶微分算子的谱间隙，分三节内容讨论.第一节为引言部分;第二节讨论一般的具有周期实系数的2n阶微分算子的谱间隙及其结论;第三节讨论特殊情形下的谱间隙长度的估计.第四章为2n阶微分算子的最小特征值问题,第一节为引言部分;第二节对其最小特征值的临界进行估计.其中第三章和第四章是本文研究的核心内容.