有限体积元方法(广义差分法)是一种基于变分原理的差分方法，已成功地应用于各种两阶偏微分方程．它具有许多优点：网格剖分灵活，自然边界条件易于处理；有限体积元方法的计算工作量比有限差分方法大，比有限元方法少；但精度比有限差分方法高，与相应的有限元方法相同；极其重要的是，有限体积元方法能够保持原问题的局部守恒性。 在论文中，考虑了下面的二维两阶非对称和不定椭圆问题的基于P<,1>非协调元的有限体积元方法：其中Ω R<2>是凸多边形区域。 通过引入相应的有限元方法，建立有限元方法和有限体积元方法双线性形式之间的关系，得到了有限元逼近和有限体积元逼近之差在H<1>范数意义下的超收敛估计：‖u<,h>-u<,h><*>‖<,1,h>≤Ch<2>‖f‖<,1>．和有限体积元逼近在L<∞>数意义下的误差估计：‖u-u<,h>‖<,0,∞>≤Ch<2>|ln h(‖f‖<,1>+‖u‖<,2,∞>)另外，我们还研究了两阶非对称和不定椭圆问题的基于P<,1>非协调元的有限体积元方法的两层网格算法，该算法将细网格上不定问题的求解转化为粗网格上不定问题的求解和细网格上正定问题的求解，并得到在H<1>范数意义下和有限元逼近具有相同精度阶数的两层网格算法的数值解：‖u<,h>-u‖<,1,h>≤CH<2>‖f‖<,1>； ‖u-u‖<,1,h>≤C(h+H<2>)‖f‖<,1>．其中u<,h>和u分别是有限体积元解和两层网格算法的解。