本文着重探讨Poisson方程在在柱坐标系或球坐标系下的数值求解，使用的数值方法是局部间断有限元(Local Discontinuous Galerkin，简称LDG)方法，此时的Poisson方程系数在r=0处产生奇性。对Poisson方程的球对称或柱对称问题，我们设计了三种LDG格式，其中LDG方法I是工作的起点。方法I和方法II均基于变分等式的坐标变换，而仅仅在于检验函数空间的选取略有不同——方法I的检验函数空间为加权的分片多项式，而方法II的检验函数空间为普通的分片多项式。为克服系数奇性的困难，方法II在靠近零点的单元上，对检验函数空间加权处理，使得格式积分存在。方法III与前两者的区别仅仅在于辅助变量的选取方式，力图扩大可以数值求解的函数范围。我们还讨论了柱对称等二维问题的LDG方法，针对问题的特点将直角坐标系中的弱形式变换到不同的坐标系。本文进行了大量的数值实验，详细比较了各种格式的误差大小和收敛阶。数值实验表明LDG方法可以用于求解奇异系数椭圆问题，并得到满意的数值效果。当采用分片七次多项式求解光滑解时，原始变量的误差可以达到k+1阶，而辅助变量的误差也达到了k阶。同时，数值实验表明LDG方法也可用于求解非光滑解。