G连通性和G收敛性是一般拓扑学和分析学中有意义的研究课题。一方面,除了序列的一般收敛性之外,各式各样的收敛性和连通性在纯数学中具有着举足轻重的地位,且它们在涉及数学的其它分支中,特别是在计算机科学、信息论、生物科学和动力系统中起着非常重要的作用;另外一个方面,G连通性和G收敛性、G紧性、G连续性等性质都密切相关,它们在数学领域上和其他领域的应用上扮演着不可或缺的关键角色。因此,我们了解G连通性的相关性质之后有助于人们探索拓扑学的奥秘和构造特殊的拓扑空间结构。本文做了以下四个方面的工作:(1)在第一章第二节中,介绍了文章中必要的符号和术语,引入了关于带有运算的群范畴,带有运算的拓扑群范畴,G壳,G核,G连通相关性质的定义并给出了G开集和G闭集的等价刻画。(2)在第二章第一节中,在文献[28]的研基础之上,探讨了G壳和G核的一些性质,推广了关于G壳、G核、G开集、G闭集以及G连续性的一些结果,并举出例子否定地回答了关于G核无限乘积性的问题。(3)在第二章第二节中,研究了G连通性在G连续性下的作用,推广了G连通性的有限乘积问题,并证明了关于G连通性可数乘积性的问题。(4)在第二章第三节中,引入了G拓扑群的相关概念,建立了在保持子序列的正则方法假设下,关于G拓扑群和G拓扑之间的关系,同时也获得关于G拓扑群的一些结果。