【摘 要】
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函数空间上的算子理论和非交换几何作为泛函分析学科中的两个有着密切联系的重要研究分支,得到了国内外学者们广泛的关注和研究.特别地,一方面,由于Toeplitz算子在函数论、控制论、概率论、信息学、物理学等领域中的广泛应用,直到今天,有关函数空间上Toeplitz算子的性质研究依然十分活跃;另一方面,非交换几何中的度量空间的粗嵌入问题作为近二十几年来新兴的问题,由于其在群论、几何拓扑、Banach空间
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函数空间上的算子理论和非交换几何作为泛函分析学科中的两个有着密切联系的重要研究分支,得到了国内外学者们广泛的关注和研究.特别地,一方面,由于Toeplitz算子在函数论、控制论、概率论、信息学、物理学等领域中的广泛应用,直到今天,有关函数空间上Toeplitz算子的性质研究依然十分活跃;另一方面,非交换几何中的度量空间的粗嵌入问题作为近二十几年来新兴的问题,由于其在群论、几何拓扑、Banach空间几何学中的重要性,引起了相关领域的学者们的极大研究兴趣.本文主要研究了Dirichlet空间上调和符号的Toeplitz算子的谱与本质谱的连通性,Bergman空间上的Toeplitz矩阵行列式的渐近表现,以及有限生成群的sofic逼近的粗几何性质与群的解析性质或粗几何性质的关系这三部分的问题.关于第一部分,我们首先定义了 Dirichlet空间上符号在L11,∞中的Toeplitz算子,研究了这类算子的有界性和紧性.然后,我们给出了 Dirichlet空间上符号在ρ+Μ（D）的Toeplitz算子的核空间的明确刻画,更进一步地,我们证明了符号为pn=a0+a1z+…+anzn（an≠0）的Toeplitz算子的核空间的维数k可以取到从0到n的任意整数.随后,我们研究了符号在L1,∞+H∞及ρ+Μ（D）中的Toeplitz算子的本质谱的连通性,并详细给出了共轭解析符号的Toeplitz算子的谱,从而是连通的.最后,利用上述得到的关于Toeplitz算子核空间的刻画,我们研究了 Dirichlet空间上具有非平凡的调和符号的Toeplitz算子的谱结构.具体地,对于符号为az+pn,凡形式的Toeplitz算子,其中Pn是次数为n的解析多项式,我们证明了其仅在n≤ 2的时候有连通谱,而符号为z2 +P1形式的Toeplitz算子的谱有包含0在内的有限多个孤立点,从而是不连通的.该部分内容具体可见本文的第三章和第四章.在第二部分中,我们研究了符号在H∞（D）+C（D）中的Bergman空间上的Toeplitz矩阵的行列式的渐近表现.通过刻画Bergman Toeplitz算子的渐近可逆性以及给出其渐近逆公式,我们证明了符号在H∞（D）+C（D）中的Bergman Toeplitz矩阵的第一 Szego定理.特别地,对于H∞（E）)+C（D）中的实值符号的情况,我们证明了另一种版本的第一 Szego定理也成立.本文的第五章和第六章给出了这部分结果的具体细节.在第三部分中,对于粗不交并形式的度量空间,在X.Chen,Q.Wang和G.Yu所提出的度量空间的纤维化粗嵌入概念的基础上,我们提出了几乎纤维化粗嵌入的概念.并且,对于任何的有限生成群,我们得到了群的sofic逼近构成的粗不交并空间能够几乎纤维化粗嵌入到一致凸Banach空间的充要条件为该群能够恰当的仿射等距的作用到某个一致凸Banach空间上,推广了X.Chen,Q.Wang和X.Wang的结果.而且,我们还研究了带恰当的群作用的粗嵌入性质,即,等变粗嵌入性质,并利用群的sofic逼近的几乎纤维化粗嵌入性质刻画了该群的等变粗嵌入性质.这部分的主要结果出现在本文的第八章.最后,我们总结了本论文的主要研究内容,并提出了本文尚未克服的困难以及今后会进一步考虑的问题.
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