【摘 要】
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在经典统计学中,所有统计方法都依赖于许多假设。这些假设是对现实的一个简化,使得人们更易于对模型进行理论分析和计算。然而不幸的是,理论和计算的便利并不总是能为我们提供一个稳健的模型。这时候,对稳健程度的衡量就显得特别重要。本文围绕定量的稳健指标进行了较为系统的研究。具体内容如下:首先,我们从崩溃点出发,求估计量T（x）的崩溃点可以看作是求优化问题min{‖δ‖0||T（x+δ）-T（x）|＞C}的解
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在经典统计学中,所有统计方法都依赖于许多假设。这些假设是对现实的一个简化,使得人们更易于对模型进行理论分析和计算。然而不幸的是,理论和计算的便利并不总是能为我们提供一个稳健的模型。这时候,对稳健程度的衡量就显得特别重要。本文围绕定量的稳健指标进行了较为系统的研究。具体内容如下:首先,我们从崩溃点出发,求估计量T（x）的崩溃点可以看作是求优化问题min{‖δ‖0||T（x+δ）-T（x）|＞C}的解。本文给出了求解该优化问题的算法,并可以根据该算法来初步判断两个估计量的稳健程度。接着,本文从理论的角度考虑了两种更一般的情况:1.当约束扰动项δ时,估计量增量|T（x+δ）-T（x）|的最大值;2.当|T（x+δ）-T（x）|＞C时,‖δ‖/=p的理论下界αL。本文证明得到的αL是一个紧的下界,它可以用来衡量估计量的稳健性,本文将其定义为稳健因子。稳健因子越高,意味着估计量越稳健。同时,本文根据极值理论给出求解稳健因子的算法。再次,本文将稳健因子应用到t检验和回归模型中。在t检验中,我们根据稳健因子证明了平均绝对偏差比标准差更稳健。因此,本文用平均绝对偏差替换掉t统计量中的标准差,得到更稳健的检验统计量,并证明了新的统计量的极限分布。本文还将稳健因子应用到回归模型中,定量地对比了12种回归模型的稳健性。得到的结果是,OLS的稳健因子最低,而稳健因子最高的是Fair、Logistic、Cauchy。同时我们还根据稳健因子证明了岭回归比OLS稳健。最后,本文总结了我们所做的工作,并对稳健因子的进一步优化进行了展望。
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