反问题的研究是数学物理中一个较新的研究领域,它在雷达,声纳和石油勘探等领域有广泛的应用前景.地球物理测井的反演问题受到人们的广泛重视,然而大多数反演问题具有不适定性,需要高效的不适定问题解法和相应的数值算法.提高测井曲线的纵向分辨率的地球物理测井一维反演问题一般可归为第一类算子方程的求解,但是这类算子方程的求解往往是不适定的,需要用特殊的方法来处理,才能得到稳定的近似解.1.本文第一章对不适定问题的解法进行了综述.2.Dirichlet边界条件和阻尼边界条件下的声波正散射问题,归结为Helmholtz方程外问题,本文第二章对其解分别用双层位势和单层位势表示,并举出了数值例子进行求解,它是声波反问题研究的基础.3.国内外学者已提出了许多关于Helmholtz方程外问题的解法,本文研究了Helmholtz方程内问题,应用位势理论把Helmholtz方程转化为一个含有Cauthy奇性性的第二类积分方程的求解问题,并利用Nystom方法求得数值结果.4.利用提升测井曲线分辨率的Walsh反演方法,对实际数据进行了处理.5.从讨论问题的不适定性入手,基于Tikhonov正则化思想,选择合适的正则化参数,通过极小泛函构造正则化算子,可以有效地提高了反演计算的速度和精度,从而对实际测井数据进行了高分辨率处理.6.B-G方法常被用来求解地球物理反问题,事实上它也是一种正则化方法,修正的B-G方法减少了运算量,结果也很理想.本文基于修正的B-G方法,提出了一种测井曲线高分辨率的反演方法.