【摘 要】
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调和映射理论横跨物理学、偏微分方程理论、有限元理论、数值计算和微分几何等诸多领域,是微分几何的核心理论之一.本文主要研究了ΦS,F-调和映射几何及相关问题,主要包括ΦS,F-调和映射的稳定性、ΦS,F,ε-调和映射的刘维尔型问题和ΦS,H-调和映射.全文由以下四章组成:第一章介绍了ΦS,F-调和映射几何及相关问题的研究背景与研究现状,在后续证明中用到的预备知识以及本文所取得的主要结果.第二章引入了
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调和映射理论横跨物理学、偏微分方程理论、有限元理论、数值计算和微分几何等诸多领域,是微分几何的核心理论之一.本文主要研究了ΦS,F-调和映射几何及相关问题,主要包括ΦS,F-调和映射的稳定性、ΦS,F,ε-调和映射的刘维尔型问题和ΦS,H-调和映射.全文由以下四章组成:第一章介绍了ΦS,F-调和映射几何及相关问题的研究背景与研究现状,在后续证明中用到的预备知识以及本文所取得的主要结果.第二章引入了与黎曼流形间的光滑映射有关的能量泛函EΦS.F,推导得到泛函EΦS,F的第一变分公式和第二变分公式,结合F-应力-能量张量,得到了ΦS,F-调和映射的一些刘维尔型定理,并证明了从球面Sm（m ≥ 5）出发的或到达球面Sn（n≥ 5）的ΦS,F-调和映射是不稳定的.第三章主要介绍了与Ginzburg-Landau型能量泛函EΦS,F,ε有关的ΦS,F,ε-调和映射的概念,推导了能量泛函EΦS,F,ε的第一变分公式,接下来通过假设ΦS,F,ε-调和映射在无穷远处的渐近条件,对能量泛函EΦS,F,ε进行上下界估计,得到ΦS,F,ε-调和映射在一定条件下的刘维尔型定理.第四章主要研究了从黎曼流形到伪埃尔米特流形的ΦS,H-调和映射,推导了与ΦS,H-调和映射相关的能量泛函EΦS,H的变分公式,得到了ΦS,H-调和映射的刘维尔型定理,利用第二变分公式,证明了从ΦH-SSU流形出发的ΦS,H-调和映射是不稳定的,并得到了当目标流形为Sasakian流形时ΦS,H-调和映射的一些几何结果.
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