随机延迟微分方程既可以视为确定性问题延迟微分方程考虑随机因素后的推广,也可以视为非确定性问题随机常微分方程考虑时滞因素后的推广,所以随机延迟微分方程往往能够更加真实地模拟科学实践中某些问题.它已被广泛地应用于物理、化学、控制论、金融学、生物学以及其它领域.　　 近年来,已有一些学者开始研究刚性随机微分方程数值方法的收敛性与稳定性,提出了一些求解刚性随机微分方程非常有效的隐式数值方法.刚性随机问题是确定性刚性问题的拓展,在确定性问题中,为了保证稳定性,一般用隐式数值方法求解刚性问题.因此,用隐式数值方法求解刚性随机问题是非常必要的.　　 平衡方法是求解刚性随机微分方程非常有效的全隐式数值方法,它与一些学者研究的隐式数值方法(只局限于在确定项引入隐式项)不同.平衡方法是在确定项和随机项都引入了隐式项.据我们所知,到目前为止国内外还未见讨论求解中立型随机比例延迟微分方程和随机延迟微分方程平衡方法收敛性和稳定性的研究.因此,开展有关这方面的研究是很有意义的.本文研究了随机延迟微分方程平衡方法的收敛性与稳定性,中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的收敛性以及随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的收敛性与稳定性.所获主要结果如下:　　 (1)讨论平衡方法求解随机延迟微分方程的收敛性与稳定性.证明了平衡方法的均方收敛阶为1/2,给出了线性随机延迟微分方程平衡方法均方稳定的条件.　　 (2)提出求解中立型随机泛函微分方程的隐式数值方法--平衡半隐式Euler方法,并讨论中立型随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的均方收敛性.证明了平衡半隐式Euler方法的均方收敛阶为1/2.将文中定理3.2.2的结论应用于随机比例延迟微分方程,即可得到随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的均方收敛阶为1/2,所得结论也是新的.　　 (3)讨论线性随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法的均方稳定性,给出了线性随机比例延迟微分方程平衡半隐式Euler方法均方稳定的条件.