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众所周知,微分方程边值问题一直是微分方程研究领域中的重要内容,这方面有着十分丰富的研究成果,见文献[2,11,23,28,39,46,57,63,76].这类问题解的存在性及唯一性作为研究的一个基本问题,引起了许多数学研究者的兴趣.随着研究的深入,人们不断发展完善和建立开拓了多种研究方法,获得许多深刻的研究结果,见文献[12,41,62,87,88,89,90,93].本文主要利用Schauder不动点定理、非线性泛函分析等方法,研究了几类具有周期积分边值条件的非线性微分方程解的存在性和唯一性.第一部分我们给出本文的第一个主要结果,考虑二阶微分方程周期积分边值问题x"=f（t,x,x’）,（0）=x（2π）,（0.0.1）∫02πx（s）ds=0,其中f:[0,2π]× R2→R是连续的.我们将给出解存在的两个充分条件.假设:（A1）存在两个连续函数a（t）和b（t）,以及一个非负常数M1,使得对于任意的x,|x|≥M1,以及（t,y）∈[0,2π]× R,有0≤a（t）≤f（t,x,y）/x≤b（t）.（A2）存在两个非负常数M2和M3,使得对于任意的（t,x）∈[0,2π]×R和|y|≥M3,满足|f（t,x,y）/y|≤M2定理0.0.1若f满足假设条件（A1）和（A2）,则周期积分边值问题（0.0.1）至少存在一个解.当f可微时,我们也可以给出解存在且唯一的充分条件.假设:（A3）存在两个连续函数α（t）和β（t）,使得对于任意的（t,x,y）∈[0,2π]×R2,有0≤α（t）≤fx（t,x,y）≤β（t）.（A4）存在正数M,使得对于所有的t ∈[0,2π]和（x,y）∈ R2,有|fy（t,x,y）≤M.定理0.0.2若f满足假设（A3）和（A4）条件,则周期积分边值问题（0.0.1）有唯一解.在这部分最后给出两个具体实例,说明所得结果的有效性.本文第二部分将讨论高阶微分方程周期积分边值问题解的存在唯一性.考虑n阶周期积分边值问题x（n）=f（t,x,x’,,x（n-1））,其中f:[0,2π]×Rn—→R是连续函数.我们假设:（H1）存在两个非负连续函数b（t）和c（t）,b（t）（?）0,当|xn-2|≥a0时,b（t）≤f（t,x0,x1,..,xn-1）/xn-2≤c（t）.对于任意（t,x0,x1,,xn-3,xn-1）∈[0,27π]× Rn-1.这里a0是一个正常数.（H2）存在两个非负常数a1和cn-1,使得对于任意的（t,x0,x1,,xn-2）∈[0,27π]× Rn-1,当 |xn-1|≥a1时,有|f（t,x0,x1,,xn-1）/xn-1|≤cn-1,（H3）函数f满足,对所有（t,x0,x1,,xn-1）∈[0,2π]×Rn-2 ×[-a0,a0]×[-a1,a1],f（t,x0,x1,,xn-1）|≤M,其中M是正常数.定理0.0.3假设（H1）,（H2）和（H3）成立,则周期积分边值问题（0.0.1）至少存在一个解.为了获得解的唯一性,我们考虑周期积分边值问题x（n）=an-1（t）x（n-1）+an-2（t）x（n-2）+h(t,x,x’,,x（n-1）,假设:（H4）h是定义在[0,27π]× Rn上的连续有界函数,an-1（t）和an-2（t）是[0,2π]上的连续有界函数,且an-2（t）≥0,an-2（t）（?）0.（H5）f是定义在[0,2π]× Rn上的连续函数,f（t,x0,x1,,xn-1）关于xn-2和xn-1存在连续偏导数,并且存在非负常数λ0,使得|f（t,x0,x1,,xn-3,0,0）|≤λ0,其中（t,x0,x1,,xn-3）∈[0,2π]×Rn-2.（H6）存在非负常数λ1,λ2,λ3,使得|fx（n-1）|≤λ3,λ1≤|fx(n-2|≤λ2在[0,2π]×Rn上成立.定理0.0.4假设（H4）成立,则周期积分边值问题（0.0.3）存在唯一解.定理0.0.5假设（H5）,（H6）成立,则周期积分边值问题（0.0.2）存在唯一解.本文第三部分,考虑奇数阶周期积分边值问题其中αk,k=0,1,2,,n-1,是常数.f:[0,2π]×R—→R是连续函数.假设下列条件成立:（S1）f是连续函数,关于x存在连续偏导数,并且存在常数β,γ>0,使得β≥|fx（t,x）|≥γ,（?）（t,x）∈[0,2π]×R.（S2）f是连续函数,存在常数M*>0和β,γ>0使得,当t ∈[0,2π]且|x|≥M*时β≥|f（t,x）/x|≥γ定理0.0.6假设（S1）成立,则问题（0.0.4）存在唯一解.定理0.0.7假设（S2）成立,则问题（0.0.4）至少存在一个解.我们也可以讨论向量微分方程的周期积分边值问题,其中函数 X:[0,2π]—→Rm,F:[0,2π]×Rm—→Rm,αk,k=0,1,2,,n-1,是常数.定理0.0.8假设F是连续向量函数,FX是F关于X的连续Jacobi矩阵,存在常数β,γ>0,满足β‖U‖2≤<U,FX（T,X）U>≤-γ‖U‖2,（?）U ∈ Rm\{0}.对于任意t ∈[0,2π],X ∈ Rm成立;或者-β‖U‖2≤<U,FX（t,X）U>≤-γ‖U‖2,（?）U ∈ Rm\{0}.对于任意t ∈[0,2π],X ∈Rm成立,则周期积分边值问题（0.0.5）存在唯一的向量值解.