【摘 要】
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电磁学理论是数学物理的重要研究领域,在地球物理、生物医学、目标跟踪、天线合成和光电子学等众多科学和工程领域得到广泛的应用.本文主要讨论了 Fourier方法在两类电磁学反问题中的应用:Maxwell方程的多频反源问题和二维Helmholtz方程的Cauchy问题.电磁场的反源问题就是利用辐射场在某个曲面上的测量数据确定源函数的问题.对于某个固定的频率,由于存在非辐射源,源函数不能被曲面上的测量数据
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电磁学理论是数学物理的重要研究领域,在地球物理、生物医学、目标跟踪、天线合成和光电子学等众多科学和工程领域得到广泛的应用.本文主要讨论了 Fourier方法在两类电磁学反问题中的应用:Maxwell方程的多频反源问题和二维Helmholtz方程的Cauchy问题.电磁场的反源问题就是利用辐射场在某个曲面上的测量数据确定源函数的问题.对于某个固定的频率,由于存在非辐射源,源函数不能被曲面上的测量数据唯一确定.为了得到唯一解,需要对源函数附加条件,一个常用的条件是寻求最小L2范数解,即最小能量解.为了克服单一频率条件下的反源问题面临的困难,很多学者考虑使用多频测量数据反演源函数.Eller和Valdivia讨论了一种确定Helmholtz方程的具有有限支集的源函数的位置和形状的多频方法.Valdivia将这种方法推广到Maxwell方程的情形.Bao等人证明了反源问题的不适定性随着频率的增加而减小,并首次给出了 Helmholtz方程多频反源问题的Lipschitz稳定性估计.Bao等人的一系列工作研究了多频反源问题的迭代法.Zhang等人利用源函数的Fourier级数表示给出了计算Helmholtz方程多频反源问题的一种数值方法和波数k的选择方法,并给出了唯一性和稳定性的结果.Wang等人将这种方法推广到远场数据的情形.Helmholtz方程的Cauchy问题是不适定的,主要数值计算方法有如下几类:边界元方法,矩方法,分离变量法和无网格方法.本文讨论了一种无网格方法.无网格方法的主要思想是设Cauchy问题的解可以近似地表示为一族Helmholtz方程的特解的线性组合,利用已知的Cauchy数据求解组合系数,从而得到近似解.根据Helmholtz方程的特解的不同选取方法,无网格方法可以细分为三种:基本解方法,边界节点法和平面波方法.我们分别给出了求解这两类问题的数值计算方法,并且给出了这些算法的误差分析和稳定性分析.在数值实验中,我们都给出了参数选取的原则,通过数值试验,我们验证了方法的可行性和有效性.本文的主要工作如下:1.研究了 Maxwell方程的多频反源问题.对于多频反源问题,我们考虑具有J = pf+ p ×▽g形式的源函数.我们首先给出了极化向量p的分解形式,再利用这种分解形式给出了源函数J的Fourier展开式,从而得到源函数的近似形式,并给出了这种近似的误差估计.对于给定的极化向量和测量数据,我们建立了各个Fouier系数的计算公式,同时证明了这些Fouier系数的唯一性.对于测量数据带有噪声的情形,我们利用测量得到的带有噪声的电场数据和电磁波的级数表示计算一张人工曲面上的电磁场数据,从而得到计算Fourier系数的公式,并由此估计系数的误差,进而得到总体的误差.最后,通过数值实验,我们验证了方法的有效性.2.研究了二维Helmholtz方程的Cauchy问题.我们首先利用Herglotz波函数v近似Cauchy问题的解.然后我们利用截断密度函数的Fourier级数的方法得到密度函数的近似形式,从而得到Herglotz波函数的近似形式VN,并证明了 v和VN的误差的随着iN的增大而指数衰减.我们利用截断平面波函数的Taylor级数的方法得到平面波函数的近似,从而得到vN的近似VN,M,并证明了VN和VN,M的误差随着M的增大而按阶乘衰减.我们同时给出了VN,的计算方法和主要的积分公式,而这些积分都可以事先计算得到.对于测量数据带有噪声的情形,由于Cauchy问题的不适定性,我们利用基于Morozov偏差原理的Tikhonov正则化方法求解此方程,并得到误差估计和稳定性的结果.最后,在数值实验中,我们给出了截断项数N和M的选取方法.通过数值试验,我们验证了方法的有效性.
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