在自然界和社会活动中,随机现象无处不在,为了更精确地模拟出随机现象的发展变化,通常建立随机微分方程这样的随机模型。而随机微分方程的解的爆破现象也普遍存在于现实中。由于Wiener过程、Gauss过程不但在理论上反映了随机本质,而且实际上也能对随机情况更精准的把握,因此研究随机过程中的Gauss过程很有意义。本文主要工作为分段连续型微分方程和分段连续型随机微分方程的解的爆破行为及非线性非趋势Gauss过程的Karhunen-Lo`eve(KL)展开,论文共分成三方面来研究。首先,考虑分段连续型微分方程(EPCA)的解的爆破行为,在不同的条件下比较延迟部分和非延迟部分的作用大小,并用数值算例说明相对应的情况;分析分段连续型微分方程和对应常微分方程(ODE)解的爆破特性,显示二者爆破行为的差异,如果相对应的ODE的解能在一段时间里产生爆破,则EPCA的解也能在一段时间里产生爆破,但是EPCA的爆破行为可以与对应的ODE不同,并用数值算例模拟出猜想;证明了EPCA的解产生爆破行为的充分条件;其次,在第一个研究内容的基础上,考虑了随机因素的影响,研究分段连续型随机微分方程(SDEPCA)的解的均方爆破行为,证明了含有线性扩散项的这种分段连续型随机微分方程的解不会爆破,得到了含有非线性扩散项的这种分段连续型随机微分方程的解爆破的充分条件,给出一些不同参数情况下的数值算例来验证结论的正确性;最后,为了探索分段连续型随机微分方程解的在概率意义下爆破行为做准备,研究随机影响Brown运动的概率估计,考虑一类非线性非趋势Brown运动和一类广义Brown桥的KL展开,从理论上证明了两者的KL展开形式完全一致,还通过具体计算验证了结论是正确的,并把结果应用于大偏差和小偏差的估计及Laplace变换。