【摘 要】
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截断奇异值分解是一类非常重要的矩阵分解,常被用于解决病态模型问题.在病态模型问题中,模型的病态性主要体现在系数矩阵的小奇异值对参数及其方差的放大.截断奇异值法的基本思想是将这些小的奇异值截掉并重构系数矩阵以削弱模型的病态性.Lyapunov方程的低秩逼近解作为数值代数领域和非线性分析技术领域中正在进行研究和探讨的重要课题之一,它在系统与控制技术、运输管理技术和信号处理技术等科学和工程计算领域中已经
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截断奇异值分解是一类非常重要的矩阵分解,常被用于解决病态模型问题.在病态模型问题中,模型的病态性主要体现在系数矩阵的小奇异值对参数及其方差的放大.截断奇异值法的基本思想是将这些小的奇异值截掉并重构系数矩阵以削弱模型的病态性.Lyapunov方程的低秩逼近解作为数值代数领域和非线性分析技术领域中正在进行研究和探讨的重要课题之一,它在系统与控制技术、运输管理技术和信号处理技术等科学和工程计算领域中已经有着广泛的应用.本文主要分为两部分:首先,研究复矩阵截断奇异值分解的黎曼二阶优化算法.将问题转化为复Stiefel乘积流形上的黎曼优化问题,进而设计基于乘积流形的黎曼牛顿法和黎曼信赖域算法求解.在黎曼牛顿法中,针对黎曼牛顿方程,从降低系统维数和简化计算入手,通过克罗内克积和复矩阵拉直算子将其转化为易于求解的实对称线性方程组.针对黎曼信赖域算法,结合黎曼海塞在乘积流形切空间中的变换矩阵,将原信赖域子问题转化为只含简单线性约束和范数约束的新子问题.数值实验和数值比较验证所提算法针对复矩阵截断奇异值分解是高效可行的.然后,研究一类来源于双线性系统中的广义Lyapunov方程的低秩逼近解问题.首先引入新的变量,将带有低秩约束的问题转化为欧氏空间上的一种无约束优化问题.针对该无约束优化问题,设计两类二阶优化算法求解—牛顿法和信赖域方法.对于牛顿法,针对其局部收敛特性,构造基于BB步长的最速下降法以获取初值,进而得到一类混合算法,该混合算法同时具有全局收敛和局部二次收敛特性.针对信赖域算法,采用经典的截断共轭梯度法求解相应的信赖域子问题.数值实验和数值比较验证了算法的有效性.
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