【摘 要】
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图的着色理论在图论中占有重要地位。本文研究图的条件着色，条件着色是近几年引入并进行研究的。设k＞0，r＞0，k，r∈Z，图G的一个（k，r）—着色是一个映射c：V（G）（?）C（k）={1，2，…，k}，满足：（1）如果uv∈E（G），那么c（u）≠c（v），（2）对于任意v∈V（G），|c（N（v））|≥min{r，dG（v）}。可以正常（k，r）—着色的最小k称为G的条件色数，记为Xr（G）。
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图的着色理论在图论中占有重要地位。本文研究图的条件着色，条件着色是近几年引入并进行研究的。设k＞0，r＞0，k，r∈Z，图G的一个（k，r）—着色是一个映射c：V（G）（?）C（k）={1，2，…，k}，满足：（1）如果uv∈E（G），那么c（u）≠c（v），（2）对于任意v∈V（G），|c（N（v））|≥min{r，dG（v）}。可以正常（k，r）—着色的最小k称为G的条件色数，记为Xr（G）。Xr（G）的计算是一个困难的问题。Lai Hongjian等讨论了X2（G）以及Xr（G）。本文主要讨论△（G）≥3时图G的条件色数X3（G）。文章首先给出了△（G）≥3时X3（G）的一个上界：若G是△（G）≥3的图，则X3（G）≤3△（G）+1；当G是Petersen图时等号成立（这时X3（G）=10）。接着提出了一个猜想：除Petersen图外，任意△（G）≥3的图G都有X3（G）≤△（G）+5。然后证明了关于△（G）=3的非正则图，含有三角形的3—正则图以及顶点数小于等于10的3—正则图（不包含Petersen图）G，都有X3（G）≤△（G）+5，并且这个上界是最好的；关于△（G）≥4的图G，X3（G）≤△（G）+5当且仅当关于△（G）≥4，δ（G）=3的图G，X3（G）≤△（G）+5。
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