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本论文共分为四章，第一章主要介绍广义逆的存在性、Banach空间的分解理论，证明了一类空间Jx(X)在X<**>中的可补性。第二章主要研究广义逆在局部分析中的应用，得到了拟局部共轭定理．第三章给出了Hermitian矩阵广义逆新的表示及二次曲面的新的不变量；给出了Hilbert空间中有界线性算子广义逆新的表示及不变量，推广了第一节中的不变量。第四章给出了数论中的若干结论，得到了ζ(2K)的新的表示，给出了陈景润三定理的简单证明及推广。
我们知道，在非线性分析和大范围分析研究中，映射的Fréchet导数的性质起着重要而基础的作用。如浸没定理、浸入定理、隐函数定理、反函数定理、原像定理、横截性定理等都要求映射的Fréchet导数是满的或单的甚至是可逆的，自然地，当映射的Fréchet导数既不满，也不单时，我们应如何利用它来研究映射的性质?特别地，当映射的Fréchet导数具有有界广义逆时，映射有什么样的性质?近年来，马吉溥先生首先利用广义逆扰动分析的结果来研究非线性分析和大范围分析中的局部共轭问题，得到了局部共轭定理，广义原像定理等一系列深刻结果．并且提出了广义正则点，广义正则值，广义横截等一些重要概念．这些概念在大范围分析中有重要的意义．对广义逆扰动理论的进一步研究也必将促进非线性分析和大范围分析的研究．在第一章中，研究了广义逆的存在性与子空间的可补性及有界投影算子的存在性是一一对应的。并且给出了一个反例说明投影算子可以是无界的．同时，我们给出了Jx(X)在X<**>中可补性条件，即得到定理1．3．1．在第二章中，分析了局部共轭定理并仅利用外逆推广了局部共轭定理，即得到拟局部共轭定理2．2．1及定理2．2．2．在第三章中，我们主要研究的是广义逆的表示及其在二次曲面不变量中的应用．首先，给出了Hermitian矩阵的广义逆的一个表示，即定理3．1．1(给出了两种证明方法)．利用它给出了R中二次曲面的新的不变量，即定理3．1．2．其次，给出了Hilbert空间有界线性算子广义逆的一个新的表示定理，即定理3．2．2．并且给出了其在不变量中的应用，即定理3．2．3．在第四章的第一节，利用Euler矩阵(特殊的Hessenberg矩阵)给出了ζ(2k)新的显式表示，并且给出了Bernoulli数与Euler矩阵的联系，为研究Bernoulli数提供了新的途径．在第二节，给出陈景润关于等幂和三定理的简单证明并推广了其结果．在第三节，给出了关于等幂和的一个问题．该问题与Bernoulli数密切相关．