在欧氏空间上,我们将集合按照其Lebesgue测度是否为零分成了两类：胖集和瘦集。设集合E（?）[0,1]n,称E为胖集,如果Ln（E）>0；称E是瘦集,如果Ln（E）=0,其中Ln（E）表示集合E的n维Lebesgue测度。然后我们又将胖集（或瘦集）各自分成了三个小类：非常胖（瘦）、相当胖（瘦）、有一点胖（瘦）,其定义如下：设E是[0,1]n上的一个胖集,（1）称E是非常胖的,如果对所有[0,1]n上的加倍测度μ都有μ（E）>0；（2）称E是相当胖的,如果存在常数1<K1<K2<∞,任给[0,1]n上的K1-加倍测度μ,有μ（E）>0；但存在[0,1]n上的一个K2-加倍测度v,使得v（E）=0；（3）称E是有一点胖的,如果对任意K>1,存在[0,1]n上的一个K-加倍测度μ,使得μ（E）=0。对瘦集也有类似的分类。设E是[0,1]n上的一个瘦集,（1）称E是非常瘦的,如果对所有[0,1]n上的加倍测度μ都有μ（E）=0；（2）称E是相当瘦的,如果存在常数1<K1<K2<∞,任给[0,1]n上的K1-加倍测度μ,有p（E）=0,但存在[0,1]n上的一个K2-加倍测度v,使得v（E）>0；（3）称E是有一点瘦的,如果对任意K>1,存在[0,1]n上的K-加倍测度μ,使得μ（E）>0。在一维实直线上,我们研究了均匀Cantor集的胖性与瘦性。在二维平面上,我们研究了Sierpinski地毯的胖性与瘦性。本文主要分为两个部分。第一部分,即第三章,研究了一维实直线上的均匀Cantor集的胖性与瘦性。均匀Cantor集按照上面的分类方式可以分为六小类。Han-Wang-Wen[37]研究了非常胖和非常瘦这两小类均匀Cantor集,他们给出了均匀Cantor集非常胖和非常瘦的充要条件。由他们的结果得到启发,我们讨论了剩下的四小类均匀Cantor集,给出了均匀Cantor集相当胖、有一点胖、相当瘦、有一点瘦的充要条件。这样,均匀Cantor集的胖性与瘦性就得到了完整的刻画。我们得到了下面的结果：设E=E（{nk},{ck}）是一个胖的均匀Cantor集,则E是有一点胖的当且仅当对所有0<p<1,有∑k=1∞（nkck）p=∞；E是相当胖的当且仅当存在常数0<p<q<1,使得∑k=1∞（nkck）q<∞,且∑k=1∞（nkck）p=∞。另外,对瘦的均匀Cantor集也有类似的刻画。设E=E（{nk},{ck}）是一个瘦的均匀Cantor集,则E是有一点瘦的当且仅当对所有p>1,有∑k=1∞（nkck）p<∞；E是相当瘦的当且仅当存在常数1<p<q<∞,使得∑k=1∞（nkck）q<∞,且∑k=1∞（nkck）p=∞。第二部分,即第四章,研究了二维平面上的Sierpiriski地毯的胖性与瘦性。Sierpinski地毯的构造方法与中间区间Cantor集的构造方法是相似的。我们也将Sierpinski地毯分成了六小类：非常胖、相当胖、有一点胖、非常瘦、相当瘦和有一点瘦。我们给出了描述这六个小类的充要条件。我们得到了下面的结果：设S（{mk}）为一个胖的Sierpinski地毯,则S（{mk}）是非常胖的当且仅当对所有p∈（0,2）,有∑k=1∞（mk-1）p<∞；S（{mk}）是相当胖的当且仅当存在常数0<p<q<2,使得∑k=1∞（mk-1）q<∞,但∑k=1∞（mk-1）p=∞；s（{mk}）是有一点胖的当且仅当对所有p∈（0,2）,有∑k=1∞（mk-1）p=∞。对瘦的Sierpinski地毯我们也得到了类似的结果。设S（{mk}）为一个瘦的Sierpinski地毯,则S（{mk}）是非常瘦的当且仅当对所有p>2,有∑k=1∞（mk-1）p=∞；S（{mk}）是相当瘦的当且仅当存在常数2<p<q<∞,使得∑k=1∞（mk-1）q<∞,但∑k=1∞（mk-1）p=∞；S（{mk}）是有一点瘦的当且仅当对所有p>2,有∑k=1∞（mk-1）p<∞。