【摘 要】
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纽结理论和平图理论可看作特殊的嵌入图理论.上世纪末本世纪初,纽结理论分别拓展到虚拟纽结理论和空间图理论,平图理论拓展到带子图理论.带子图实际上等价于胞腔嵌入图.最近,虚拟纽结理论和空间图理论被统一为虚拟空间图理论.经典纽结理论和虚拟纽结理论的发展促进了带子图理论的发展,例如,提出了部分对偶的概念.本文围绕以上几类嵌入图及其多项式展开研究.本文的主要工作和创新点如下:（1）Huggett和Moffa
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纽结理论和平图理论可看作特殊的嵌入图理论.上世纪末本世纪初,纽结理论分别拓展到虚拟纽结理论和空间图理论,平图理论拓展到带子图理论.带子图实际上等价于胞腔嵌入图.最近,虚拟纽结理论和空间图理论被统一为虚拟空间图理论.经典纽结理论和虚拟纽结理论的发展促进了带子图理论的发展,例如,提出了部分对偶的概念.本文围绕以上几类嵌入图及其多项式展开研究.本文的主要工作和创新点如下:（1）Huggett和Moffatt用中间图的全-交叉定向描述了平图的所有二部部分对偶.Metsidik和Jin根据中间图的半-交叉定向描述了平图的所有欧拉部分对偶.我们首先将Huggett和Moffatt的工作扩展到可定向的带子图,并通过例子说明不能拓展到不可定向的带子图.然后,提出中间图的交叉-全定向的概念,并利用该定向描述了任何带子图的所有欧拉部分对偶,该方法比Metsidik和Jin的半-交叉定向更简单.（2）Kauffman定义了可图的虚拟链环的概念.我们证明了一个虚拟链环是可图的当且仅当它是棋盘可着色的.引入标记边操作,并利用删除-标记边操作定义了符号圈序图的一个F-多项式.将符号平图的Tutte多项式与链环投影图的尖括号多项式之间的关系推广到符号圈序图的F-多项式与虚拟链环投影图的尖括号多项式.说明了F-多项式是符号Bollobas-Riordan多项式的一个特殊情形.（3）Yamada利用Negami多项式定义了空间图投影图的Yamada多项式.我们用递归的方式定义了虚拟空间图投影图的广义Yamada多项式.证明了规范化的广义Yamada多项式分别是虚拟空间图的硬顶点同痕不变量和最大度至多为3的虚拟空间图的柔顶点同痕不变量.接着,探讨了将广义Yamada多项式限制在经典链环上时与Dubrovnik多项式之间的联系,并用广义Yamada多项式来判断虚拟链环的非经典性.最后,将Jones-Wenzl算子P2作用于虚拟空间图投影图D,证明了 D的广义Yamada多项式在一组特殊参数下的取值等于含有算子P2的D的2-cabled尖括号多项式.（4）我们讨论了4-正则平图的流多项式与Kauffman-Vogel多项式之间的关系.Jaeger给出了 3-正则平图的流多项式的有向偶子图展式和无向偶子图展式.通过引入含分裂系统的偶子图,我们将Jaeger的工作扩展到最大度至多为4的平图.最后,利用无向偶子图展式给出了 4-正则平图的流多项式在变量取4和0时的表达式.
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