分数微积分理论是数学分析的一个新的分支,专门研究函数的任意阶微分和积分的非标准的算子理论及其应用.尽管分数阶积分和分数阶导数的概念在十七世纪就已经出现,但过去的在近三个世纪里,由于缺乏具体的应用,分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行,似乎只有数学家们对它有兴趣,因此进展缓慢.然而在近几十年里,许多学者发现分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程,而在经典模型中这些性质常常是被忽略的.如今,分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统辨识、控制和机器人及其他应用领域中的问题.因此,分数阶微积分以及分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应用价值,分数阶微分方程已成为一个研究热点.本文的主要工作包括以下四个部分.第一章绪论中,主要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的发展历史以及研究背景,简要介绍了几类分数阶微分方程关于初值问题解的存在性与唯一性方面的一些重要结果.第二章是预备知识,主要介绍了分数阶积分与导数的基本概念和一些性质及有关相空间、扇形算子、非紧测度理论的一些基础知识和相应的定理.第三章,利用扇形算子分数幂理论、非紧测度理论及相关的不动点定理,给出了Banach空间中一类半线性无穷时滞分数阶积分微分方程,在无需假设相关预解算子的紧性等条件下mild解存在的几个充分条件.第四章,研究Banach空间中一类非线性分数阶微分方程边值问题.利用Green函数、非紧测度和相关的不动点定理,得到此类方程mild解存在的几个充分条件.文中所得结果改进和推广了一些已有的结论.