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等周问题是几何与凸几何分析中的最经典最重要的问题。等周不等式是几何与分析中最重要的不等式之一。等周不等式与分析的Sobolev不等式等价。Bon-nesen型不等式是等周不等式的推广和加强。平面Bonnesen型不等式最近已经被推广到2维常曲率平面上。高维Bonnesen型不等式的研究一直是积分几何与几何不等式的困难问题,最近已有进展。 本文,将研究欧氏平面R2中等周不等式以及Bonnesen型不等式的另一推广,即关于平面两凸域的Minkowski不等式以及Bonnesen型(Minkowski)对称混合等似不等式。将估计欧氏平面R2中一个凸域包含另一凸域的位似域的平移包含测度,估计凸域K0与K1的对称混合等似亏格?2(K0,K1)=A201?A0A1(其中A0,A1分别是R2中凸域K0,K1的面积,A01是K0与K1的混合面积)。获得了R2中一个凸域包含另一凸域的位似域的充分条件,还得到了一些Bonnesen型对称混合等似不等式和逆Bonnesen型对称混合等似不等式,位似Bol-Fujiwara定理.我们还将研究n维欧氏空间Rn中由凸体K1,...,Kn所构造的Lp混合质心体,得到了关于Lp混合质心体的一些几何不等式.本文得到的这些结果是最新的。 第3章主要研究平移包含测度。利用积分几何中的运动公式,即Poincar′e平移运动公式和Blaschke平移运动基本公式,研究欧氏平面R2中一凸域包含另一凸域的位似域的包含测度。得到了位似包含测度定理和平移包含测度定理。 第4章主要研究欧氏平面R2中两凸域的对称混合等似亏格?2(K0,K1)=A201?A0A1的上、下界。首先,定义一凸域关于另一凸域的内半径和外半径,利用平移包含测度定理,得到一些Bonnesen型对称混合等似不等式。特殊情况是:当其中一个域为圆盘时,这些不等式就是欧氏平面R2中周知的Bonnesen型等周不等式。我们还定义了一卵形域关于另一卵形域的曲率内半径和曲率外半径,利用平移包含测度定理,得到了一些逆Bonnesen型对称混合等似不等式。当其中一个域为圆盘时,这些不等式就是欧氏平面R2中的逆Bonnesen型等周不等式.本文中所获得到的对称混合等似不等式是欧氏平面R2中关于两凸域混合面积的Minkowski不等式的加强。我们还得到了位似Bol-Fujiwara定理。 第5章主要研究Lp混合质心体。对n维欧氏空间Rn中以原点为内点的n个凸体K1,...,Kn,我们定义了Lp混合质心体Γp(K1,...,Kn),并得到关于Lp混合质心体Γp(K1,...,Kn)的一些重要不等式。