【摘 要】
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本文研究强非线性系统极限环近似的奇异摄动方法及其应用.论文分为四章：第一章为绪论.本章对奇异摄动问题、奇异摄动方法及其相关的研究进展进行综述,同时给出本文的研究工作.第二章提出了强非线性平面自治系统极限环近似的二维改进Lindstedt-Poincare法.该法有两个关键步骤：第一步,通过平移、线性坐标变换以及时间尺度变换,将平面自治系统写成标准的形式；第二步,在标准系统中引入适当的参数变换、非线
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本文研究强非线性系统极限环近似的奇异摄动方法及其应用.论文分为四章：第一章为绪论.本章对奇异摄动问题、奇异摄动方法及其相关的研究进展进行综述,同时给出本文的研究工作.第二章提出了强非线性平面自治系统极限环近似的二维改进Lindstedt-Poincare法.该法有两个关键步骤：第一步,通过平移、线性坐标变换以及时间尺度变换,将平面自治系统写成标准的形式；第二步,在标准系统中引入适当的参数变换、非线性频率展开以及解的展开.为验证方法的有效性与高精度性,该法被应用于一类Rosenzweig-MacArthur捕食者与被捕食者模型,获得了该模型（大振幅）极限环及其频率的解析近似表达式.通过与直接数值积分解比较表明：该法适用于一般形式的平面自治系统且具有较高的精度.第三章基于同伦分析法,结合van der Pol方程极限环近似的一个重要思想,研究强非线性平面自治系统极限环及其频率的近似问题.首先,类似于第二章,通过平移、线性坐标变换以及时间尺度变换,将平面自治系统写成标准的形式；接着,根据标准系统的形式,定义了辅助线性算子,从而获得了初始猜测解以及零阶形变方程；进一步地,通过同伦级数,获得了高阶形变方程.重要的是,在求解高阶形变方程中,本章引入了van der Pol方程极限环近似的一个重要思想：即考虑各阶摄动方程的齐次通解并要求它们具有相同的相位.应用于第二章所研究的Rosenzweig-MacArthur模型表明：本文给出的方法具有很高精确度,即使当控制参数远离Hopf分支值时.第四章利用第三章的思想,研究一类三维非线性自治反馈控制系统极限环及其频率的解析近似问题.为定义辅助线性算子而获得初始猜测解,首先将该三维系统化为由一个二阶非线性方程和一个一阶非线性方程组成的耦合系统；从而,零阶与高阶形变方程均可得；最后,类似于第三章的摄动过程,获得了上述三维系统极限环及其频率的解析近似式.与数值积分的结果比较表明：本章的方法适用于三维情形且具有较高的精度.
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