【摘 要】
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现已发现,分数阶微积分非常适用于描述具有“记忆”、“长距离相互作用”和“遗传”等特性的客观现象,而这正是分数阶微积分相对于经典微积分所具有的主要优势.众所周知,能够获得解析解的常微分方程很少,对于高维微分系统,也是如此.无论对于有限维微分系统还是无穷维微分系统,通过降低维数,获得一个等价于原系统的低维方程组,进而分析其动力学性质显得尤为关键.整数阶高维常微分系统理论中,常用的降维方法有中心流形约化
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现已发现,分数阶微积分非常适用于描述具有“记忆”、“长距离相互作用”和“遗传”等特性的客观现象,而这正是分数阶微积分相对于经典微积分所具有的主要优势.众所周知,能够获得解析解的常微分方程很少,对于高维微分系统,也是如此.无论对于有限维微分系统还是无穷维微分系统,通过降低维数,获得一个等价于原系统的低维方程组,进而分析其动力学性质显得尤为关键.整数阶高维常微分系统理论中,常用的降维方法有中心流形约化方法和Lyapunov-Schmidt约化方法.受此启发,本文主要研究分数阶微分方程的两种约化方法,并且深入讨论分数阶微分方程的适定性问题,此外,我们也研究了 Hadamard型分数阶导数的性质和有限部分积分定义以及Hadamard型分数阶微分方程的解对参数的依赖性等问题.本文主要围绕分数阶微分方程的约化、适定性以及解对参数的依赖性等问题展开研究,具体来说主要内容包括以下四部分:（1）通过构造合适的压缩映射,证明了 0<α<1时的Caputo分数阶微分系统的中心流形的存在性,并且获得了 Caputo分数阶微分系统中心流形逼近解的误差以及收敛阶.当导数阶为1时,所得的结果正好与整数阶微分方程的结论一致.（2）分别研究了不同分数阶（0<<1,1<α<2）情况下的Caputo分数阶微分方程的Lyapunov-Schmidt约化方法.提出了分数阶微分算子的Fredholm择一性原理,构造并运用Lyapunov-Schmidt约化方法对分数阶微分系统进行约化.最后利用具体例子给出了验证,并通过分岔计算得到对应的等价系统.（3）分析并研究了四类分数阶微分方程的解的适定性问题.首先,总结了 0<α<1时的左Riemann-Liouville分数阶微分方程的定解条件;在此基础上进一步提出了 0<α<1时的右Riemann-Liouville分数阶微分方程的定解条件;接着总结了 1<α<2时的Riesz分数阶微分方程的初值条件;最后研究了 0<α<1时的Hadamard分数阶微分方程定解问题.（4）首先,推导了 Hadamard型分数阶算子有关性质.其次,提出了有限部分积分定义,并证明在适当的函数空间中,所定义的有限部分积分与Hadamard型分数阶导数具有等价性;然后给出一类Hadamard型分数阶微分方程的定解条件.最后,提出了一种适用于Hadamard型分数阶微分方程的含有弱奇异核的Gronwall不等式,从而,进一步分析了解对参数（分数阶阶数、初值条件和小扰动项）的依赖性.
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