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变分不等式理论是应用数学中一个十分重要的研究领域,它在非线性最优化理论、微分方程、控制论、对策论、社会经济平衡理论等领域有着广泛的应用,而变分不等式的基本问题之一是解的存在性问题. 本文主要利用例外簇的概念来研究混合变分不等式(记为MVI(K,F,φ))的解的存在性问题,内容具体安排如下: 第一章,概述变分不等式理论和例外簇的历史背景和研究现状,并介绍了本文要用到的一些基本概念和常用记号. 第二章,在自反严格凸的光滑Banach空间中定义混合变分不等式的例外簇,接着证明了一个关于紧容许映射的不动点定理,通过例外簇和不动点定理,我们给出了MVI(K,F,φ)解存在的一个基本定理和其它解的存在性定理.本章的主要结论如下:定理2.2.1设X为自反严格凸的光滑Banach空间,X*为其对偶空间,K为X中的非空闭凸集,设F1:X*→(K,τω)连续,F2:(K,τω)→2X*为紧容许映射.设U为K的有界的相对开集,且对任给的f∈X*,F1(f)∈U.如果下列条件成立:则F1οF2在U中存在不动点.定理2.3.1设X为自反严格凸的光滑Banach空间,X*严格凸,K为X中的非空闭凸集,若F2=J-F:K→2X*是紧容许映射,则对以下两个陈述,必定有其中的一个成立:(i)MVI(K,F,φ)有解;(ii)对任意给定的f∈X*,MVI(K,F,φ)存在关于f的例外簇.定理2.3.2设X为自反严格凸的光滑Banach空间,X*严格凸,K为X中的非空闭凸集,若F2=J-F:K→2X*是容许映射,且F是紧连续场.对任给的f∈X*以及任意满足||xr||→+∞的序列{xr}r＞0(?) K,若存在xr0∈{xr}和y∈K使得:||y||＜||xr0||和则混合变分不等式MVI(K,F,φ)有解.定理2.3.6设X为自反严格凸的光滑Banach空间,X*严格凸,K为X中的非空闭凸集,若F2=J-F:K→2X*是容许映射,且F是紧连续场.若对任意实数p,存在x∈K使得:则MVI(K,F,φ)有解. 第三章,我们在自反Banach空间中讨论例外簇的存在性与混合变分不等式的可解性之间的关系.我们先给出区别于第二章的另一种形式的例外簇概念,接着证明了当MVI(K,F,φ)无例外簇时必有解,本章的主要结论如下:定理3.2.2设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,x∈X为任意给定的点且F:K→2X*为紧容许映射,φ:K→R∪{+∞}为凸下半连续泛函,若MVI(K,F,φ)无解,则F存在关于x的例外簇.推论3.2.1设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,x∈X为任意给定的点且FK→2X*为紧容许映射,φ:K→R∪{+∞}为凸下半连续泛函,若F没有关于x的例外簇,则MVI(K,F,φ)有解. 第四章,利用第三章当F没有关于x的例外簇时MVI(K,F,φ)有解这一结论,我们讨论当映射为上符号连续时MVI(K,F,φ)无例外簇的一些条件;进一步,当映射关于某泛函拟(伪)单调时,我们还获得了MVI(K,F,φ)解存在的一些充分必要条件.本章的主要结论如下:定理4.2.2设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,x∈X为任意给定的点,F:K→2X*为紧容许的拟单调上符号连续映射,对于下述的三个命题:(ⅰ)存在K的有界子集D,使得:(ⅱ)对于满足||xr-x||→+∞的任意序列{xr}(?) K,存在xr0∈{xr}及y∈K,满足以下条件:(ⅲ)F不存在关于x的例外簇,从而MVI(K,F,φ)有解.则有(ⅰ)(?)(ⅱ),(ⅱ)(?)(ⅲ).定理4.2.3设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,F:K→2X*为紧容许的拟单调上符号连续映射,考虑以下的的三个命题:(ⅰ)存在x*∈K,使得K＜(x*)={x∈K:＜f,x-x*＞+φ(x)-φ(x*)＜0,(?)f∈F(x)}是有界集(可能为空集);(ⅱ)存在X中的开球Ω和x*∈K∩Ω,使得:(ⅲ)对任给的x∈X,F不存在关于x的例外簇,从而MVI(K,F,φ)有解.则有(ⅰ)(?)(ⅱ)(?)(ⅲ)成立.定理4.2.6设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,int(barr(K))≠0, F:K→2X*为紧容许的上符号连续映射,且F关于φ拟单调,若K∞∩((F+(?)φ)(K))0={0},则MVI(K,F,φ)有解.定理4.3.1设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,int(barr(K))≠(?),F:K→2X*为容许的上符号连续映射,且F关于φ伪单调,则以下三个问题相互等价:(i)K∞∩((F+(?)φ)(K))0={0};(ii)存在常数ρ＞0,使得对任意满足||x||＞ρ的x∈K,存在y∈K,使得:(iii)MVI(K,F,φ)解集非空有界.定理4.3.2设K为自反Banach空间X的非空闭凸子集,F:K→2X*为紧容许的上符号连续映射,若F关于φ伪单调,则以下的三个命题相互等价:(i)存在x*∈K,使得K＜(x*)={x∈K:＜f,x-x*＞+φ(x)-φ(x*)＜0,(?)f∈F(x)}是有界集(可能为空集);(ii)存在X中的开球Ω和x*∈K∩Ω,使得:(iii)MVI(K,F,φ)有解.