低差分一致性函数可分为几乎完全非线性(almost perfect nonlinear，APN)函数、完全非线性(perfect nonlinear，PN)函数和其它低差分一致性函数．它们在密码学和代数学中都有广泛的应用．本文构造和分析了一批低差分一致性函数，具体成果如下： 在第二章中，由已知的APN幂函数特例归纳出奇特征域中的两类APN幂函数，并以二次特征和Dickson多项式为工具给出证明．新的APN函数可用来解释Helle—seth提出的两种公开情况，并且可用来证明Dobbertin猜想．最后，将前面提出的两类APN函数加以推广，得出特定形式下幂函数的差分一致属性．在证明过程中创造性地引入Dickson多项式来求解方程，使得方程的求解变得简单可行． 在第三章中，首先讨论了特征为2的域中已知的几类APN多项式函数的等价性质，接着给出了一类新的APN多项式函数，并进一步分析了它的bent属性．该APN函数不Carlet—Charpin—Zinoviev(CCZ)等价于Dobbertin函数，且在特定条件下不等价于已知的函数．其次，将特征为3的域中一类已知的APN函数推广到奇特征域中，新的APN函数包含已知的APN函数为特例．最后，利用线性多项式和迹函数，通过引入中间变量的方法计算了一大类APN函数的Walsh谱．计算结果表明该类函数的Walsh谱和Gold函数的Walsh谱相同，从而确定了它们的非线性度，而函数的非线性度可以衡量其抗线性分析能力． 在第四章中，将已知的APN多项式函数推广到奇特征域中，加上特定的条件而得出几类PN多项式函数，且证明了其中两类PN函数不CCZ等价于已知的PN函数，由此给出了两类半域．在特定的条件下，所构造的半域也与已知的半域不合痕．我们在证明过程中给出了判断CCZ等价和扩张仿射(extended affine，EA)等价的一种方法．最后，讨论了特定条件下Dillon多项式的差分一致性． 在第五章中，结合前面的工具和方法，构造了几类低差分一致性函数．我们注意到除了Edel和Pott最近发现的APN函数外，其它已知的APN多项式函数都是二次的，而且在F22n中还没有发现APN置换函数．我们构造的低差分一致性函数不限于二次，而且具有置换特性，从而给设计和构造S盒提供了更多的方法．在第3节中，引入了几乎低差分一致性概念，并构造了几类几乎低差分一致性函数．