性质1:设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1的左、右顶点(或上、下顶点),点P是椭圆上异于A、B的任一点,则kPA•kPB=-b2a2.
　　证明:设P(x0,y0),其中x0≠±a(或y0≠±b),则x20a2+y20b2=1,
　　整理得y20x20-a2=-b2a2(或y20-b2x20=-b2a2),
　　即y0-0x0+a•y0-0x0-a=-b2a2(或整理得y0+bx0-0•y0-bx0-0=-b2a2),故kPA•kPB=-b2a2.
　　类似地,双曲线上的点也有如下性质:
　　性质2:设A、B是双曲线x2a2-y2b2=1的左、右顶点,点P是双曲线上异于A、B的任一点,则kPA•kPB=b2a2.
　　该性质在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,尤其是有关顶点弦问题等方面,有着简化推理运算过程、帮助寻找解题思路的作用.
　　【例1】 (2009,福建)已知A、B分别为曲线C:x2a2+y2=1(y≥0,a>0)与x轴的左、右两个交点,直线l过点B且与x轴垂直,S为l上异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
　　(I)若曲线C为半圆,点T为圆弧AB的三等分点,试求出点S的坐标;
　　(II)如图1,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在a,使得O、M、S三点共线?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
　　图1
　　解:(I)S(1,133)(或S(1,23)).
　　(II)假设存在a(a>0)使得O、M、S三点共线.因为M在以SB为直径的圆上,所以有BT⊥OS.
　　设S(a,m)(m≠0),则kAT=kAS=m-02a,kOS=ma,从而kBT=-1kOS=-am.
　　由kAT•kBT=-1a2得m2a•(-am)=-1a2,解得a2=2(a>0),即a=2.故存在a=2使得O、M、S三点共线.
　　【例2】 (2006,湖北)设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a,b>0)的左、右顶点,椭圆长半轴的长等于焦距,且x=4为它的右准线. (Ⅰ)求椭圆的方程;
　　(Ⅱ)设P为右准线上不同于点(4,0)的任意一点,若直线AP,BP分别与椭圆相交于异于A,B的点M、N,证明:点B在以MN为直径的圆内.
　　图2
　　解:(Ⅰ)椭圆的方程为x24+y23=1.
　　(Ⅱ)证明:设点P(4,t)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2)
　　(其中x1≠±2,x2≠±2,y1y2<0).
　　则kAM=kAP=t-04+2=t6,kBM=y1-0x1-2,
　　由kAM•kBM=-34得t6•y1x1-2=-34,于是有x1-2=-2ty19.
　　又由kBN=kPB得y2x2-2=t4-2,于是有x2-2=2y2t.
　　所以BM•BN=(x1-2)(x2-2)+y1y2=-2ty19•2y2t+y1y2=5y1y29<0.
　　从而∠MBN为钝角,故点B在以MN为直径的圆内.
　　(责任编辑 金 铃)