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极限是高中数学的重点内容之一,在高考中多以选择题、填空题以及解答题中的小题形式出现.它往往与数列、方程、组合、不等式、对数、解析几何、平面几何、函数等知识交汇,具有涉及面广、综合性强、解法灵活等特点,下面结合一些高考题予以说明,供复习时参考.一、有限项分式极限
1.分子、分母为关于n的多项式形式
设f(n),g(n)是关于n的一元多项式,g(n)≠0,设f(n)、g(n)的次数分别为p、q,
最高次项系数分别为a0,b0,则
limn→∞f(n)g(n)
=0 (p
不存在 (p>q).
【例1】求下列极限:
(1)limn→∞3n2+n4n2+1;
(2)limn→∞3n3+n-3n4+5n;
(3)问:当n→∞时,n3+3n+2n2-2的极限是否存在?
解析:(1)limn→∞3n2+n4n2+1=limn→∞3+1n4+1n2=34.
(2)limn→∞3n3+n-3n4+5n=0.
(3)不存在.
点评:一般的,求分子、分母都是关于n的多项式
的极限,通常把分子、分母同除以分子、分母中n
的最高指数项后,再求极限。
2.分子、分母为指数形式
【例2】求下列数列的极限
(1)limn→∞3n+(-2)n3n+1+2n+1;
(2)当r>0时,求limn→∞rn-2nrn+2n(r>0).
解析:(1)limn→∞3n+(-2)n3n+1+2n+1
=limn→∞1+(-23)n3+2(23)n
=1+03+2•0=13.
(2)当r>2时,
limn→∞rn-2nrn+2n
=limn→∞1-(2r)n1+(2r)n
=1-01+0
=1;
当r=2时,limn→∞rn-2nrn+2n=0-02•2n=0;
当0 limn→∞rn-2nrn+2n
=limn→∞(r2)n-1(r2)n+1
=0-10+1
=-1.
所以limn→∞rn-2nrn+2n=1 (r>2);0 (r=2);-1 (0 点评:求limn→∞an+bncn+dn型的极限时,要先将分子、分母同除以绝对值最大的项,然后应用极限运算法则求出极限。
二、分子、分母有理化
【例3】求下列数列的极限
(1)limn→∞n(n+1-n);
(2)limn→∞6n2+n-n;
(3)limn→∞n+1-nn-n-1.
解析:
(1)limn→∞n(n+1-n)
=limn→∞n(n+1-n)(n+1+n)n+1+n
=limn→∞nn+1+n
=limn→∞11+1n+1=12.
(2)limn→∞6n2+n-n
=limn→∞6(n2+n+n)(n2+n-n)(n2+n+n)
=limn→∞6(n2+n+n)n=12.
(3)limn→∞n+1-nn-n-1
=limn→∞(n+1-n)(n+1+n)(n+n-1)(n-n-1)(n+n-1)(n+1+n)
=limn→∞n+n-1n+1+n
=1.
点评:对于含有关于n的无理式的数列极限,要考虑是否需要分子(或分母)有理化,或作变形后再求极限.
三、无限项的和或积的极限
【例4】求下列数列的极限
(1)limn→∞(1n2+4n2+7n2+…+3n-2n2);
(2)limn→∞12•5+15•8+…+1(3n-1)(3n+2);
(3)limn→∞(1-122)(1-132)…(1-1n2).
解:(1)limn→∞(1n2+4n2+7n2+…+3n-2n2)
=limn→∞1+4+7+…+(3n-2)n2
=limn→∞n(1+3n-2)2n2
=limn→∞3n-12n
=32.
(2)limn→∞
12•5+15•8+…+1(3n-1)(3n+2)
=limn→∞
13(12-15)+13(15-18)+…+13(13n-1-13n+2)
=limn→∞13(12-13n+2)
=16.
(3)limn→∞(1-122)(1-132)…(1-1n2)
=limn→∞(1-12)(1+12)(1-13)(1+13)…(1-1n)(1+1n)
=limn→∞(12×23×34×…×n-1n×32×43×54×…×n+1n)=limn→∞n+12n=12.
点评:对于无限项的和或积的数列极限,应先把和或差化简合并后,再求其极限.
三、无穷递缩等比数列所有项和(也称各项和或前n项和Sn的极限)
若{an}是无穷等比数列,且0<|q|<1,则S=limn→∞Sn=a11-q.
【例5】求数列0.1,0.02,0.003,…各项的和.
解析:设S=0.1+0.02+0.003+0.0004+…①
110S=0.01+0.002+0.0003+…②
①-②得910S=0.1+0.01+0.001+0.0001+…=1101-110=19,所以S=1081.
点评:利用无穷递缩等比数列所有项的和可
以化循环小数为分数,求某些极限不用先求和,
而是直接求极限.
四、利用limn→∞an+k=limn→∞an(k为正整数).
【例6】数列{an}中a1=2,且an=12
(an-1+3an-1)(n≥2),若limn→∞an存在,求limn→∞an的值.
解析:设limn→∞an=A,则limn→∞an-1=A,在an=12
(an-1+3an-1)(n≥2)两边同时取极限,即
limn→∞an=limn→∞12(an-1+3an-1),
∴A=12(A+3A).解之得A=3,A=-3(舍去).
故limn→∞an=3.
(责任编辑 金 铃)
1.分子、分母为关于n的多项式形式
设f(n),g(n)是关于n的一元多项式,g(n)≠0,设f(n)、g(n)的次数分别为p、q,
最高次项系数分别为a0,b0,则
limn→∞f(n)g(n)
=0 (p
不存在 (p>q).
【例1】求下列极限:
(1)limn→∞3n2+n4n2+1;
(2)limn→∞3n3+n-3n4+5n;
(3)问:当n→∞时,n3+3n+2n2-2的极限是否存在?
解析:(1)limn→∞3n2+n4n2+1=limn→∞3+1n4+1n2=34.
(2)limn→∞3n3+n-3n4+5n=0.
(3)不存在.
点评:一般的,求分子、分母都是关于n的多项式
的极限,通常把分子、分母同除以分子、分母中n
的最高指数项后,再求极限。
2.分子、分母为指数形式
【例2】求下列数列的极限
(1)limn→∞3n+(-2)n3n+1+2n+1;
(2)当r>0时,求limn→∞rn-2nrn+2n(r>0).
解析:(1)limn→∞3n+(-2)n3n+1+2n+1
=limn→∞1+(-23)n3+2(23)n
=1+03+2•0=13.
(2)当r>2时,
limn→∞rn-2nrn+2n
=limn→∞1-(2r)n1+(2r)n
=1-01+0
=1;
当r=2时,limn→∞rn-2nrn+2n=0-02•2n=0;
当0
=limn→∞(r2)n-1(r2)n+1
=0-10+1
=-1.
所以limn→∞rn-2nrn+2n=1 (r>2);0 (r=2);-1 (0
二、分子、分母有理化
【例3】求下列数列的极限
(1)limn→∞n(n+1-n);
(2)limn→∞6n2+n-n;
(3)limn→∞n+1-nn-n-1.
解析:
(1)limn→∞n(n+1-n)
=limn→∞n(n+1-n)(n+1+n)n+1+n
=limn→∞nn+1+n
=limn→∞11+1n+1=12.
(2)limn→∞6n2+n-n
=limn→∞6(n2+n+n)(n2+n-n)(n2+n+n)
=limn→∞6(n2+n+n)n=12.
(3)limn→∞n+1-nn-n-1
=limn→∞(n+1-n)(n+1+n)(n+n-1)(n-n-1)(n+n-1)(n+1+n)
=limn→∞n+n-1n+1+n
=1.
点评:对于含有关于n的无理式的数列极限,要考虑是否需要分子(或分母)有理化,或作变形后再求极限.
三、无限项的和或积的极限
【例4】求下列数列的极限
(1)limn→∞(1n2+4n2+7n2+…+3n-2n2);
(2)limn→∞12•5+15•8+…+1(3n-1)(3n+2);
(3)limn→∞(1-122)(1-132)…(1-1n2).
解:(1)limn→∞(1n2+4n2+7n2+…+3n-2n2)
=limn→∞1+4+7+…+(3n-2)n2
=limn→∞n(1+3n-2)2n2
=limn→∞3n-12n
=32.
(2)limn→∞
12•5+15•8+…+1(3n-1)(3n+2)
=limn→∞
13(12-15)+13(15-18)+…+13(13n-1-13n+2)
=limn→∞13(12-13n+2)
=16.
(3)limn→∞(1-122)(1-132)…(1-1n2)
=limn→∞(1-12)(1+12)(1-13)(1+13)…(1-1n)(1+1n)
=limn→∞(12×23×34×…×n-1n×32×43×54×…×n+1n)=limn→∞n+12n=12.
点评:对于无限项的和或积的数列极限,应先把和或差化简合并后,再求其极限.
三、无穷递缩等比数列所有项和(也称各项和或前n项和Sn的极限)
若{an}是无穷等比数列,且0<|q|<1,则S=limn→∞Sn=a11-q.
【例5】求数列0.1,0.02,0.003,…各项的和.
解析:设S=0.1+0.02+0.003+0.0004+…①
110S=0.01+0.002+0.0003+…②
①-②得910S=0.1+0.01+0.001+0.0001+…=1101-110=19,所以S=1081.
点评:利用无穷递缩等比数列所有项的和可
以化循环小数为分数,求某些极限不用先求和,
而是直接求极限.
四、利用limn→∞an+k=limn→∞an(k为正整数).
【例6】数列{an}中a1=2,且an=12
(an-1+3an-1)(n≥2),若limn→∞an存在,求limn→∞an的值.
解析:设limn→∞an=A,则limn→∞an-1=A,在an=12
(an-1+3an-1)(n≥2)两边同时取极限,即
limn→∞an=limn→∞12(an-1+3an-1),
∴A=12(A+3A).解之得A=3,A=-3(舍去).
故limn→∞an=3.
(责任编辑 金 铃)